diagonalizacja macierzy symetrycznej krzywej

Przemas O'Black · Post autor: **Przemas O'Black** » 28 lis 2009, o 12:14

Zdiagonalizuj stosowną macierz symetryczną w celu znalezienia równania kanonicznego krzywej \(\displaystyle{ x ^{2} + xy + y ^{2} = 0}\).

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 28 lis 2009, o 12:17

No to zgodnie ze schematem , ktory powinienes znac , wrzucasz dane w macierz ( tak to rownanko to są Twoje "dane ") i diagonalizujesz. Zatem jaki jest problem? Tak konkretnie. Mozna to tez zrobic bez macierzy

Przemas O'Black · Post autor: **Przemas O'Black** » 28 lis 2009, o 12:23

Nie wiem jaką macierz diagonalizować: macierz formy kwadratowej?
Potem zapisać to równanie w postaci \(\displaystyle{ \lambda x ^{2} + \delta y ^{2} = 0}\), gdzie
\(\displaystyle{ \delta \lambda}\) - wartości własne macierzy formy kwadratowej?

xiikzodz · Post autor: **xiikzodz** » 28 lis 2009, o 12:27

\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&\frac 12\\\frac 12&1\end{pmatrix}}\)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 28 lis 2009, o 12:30

Nie wiem jaką macierz diagonalizować: macierz formy kwadratowej?

Tak, macierz formy kwadratowej. Taka jaką zapisała xiikzodz. Pozniej operacje na wierszach +analogiczne operacje na kolumnach i sprowadzamy do macierzy diagonalnej.( operacje wykonujemy na 2 macierzach)Czyli schemacik...

Przemas O'Black · Post autor: **Przemas O'Black** » 28 lis 2009, o 12:39

Wartości własne \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \wedge \frac{3}{2}}\)
Podstawiam do równania na wektor własny
i wychodzi (0,0). Źle.

Zordon · Post autor: **Zordon** » 28 lis 2009, o 12:39

\(\displaystyle{ 0=x^2+xy+y^2=(x+ \frac{y}{2})^2+ \frac{3}{4}y^2}\)
i widać, że ta krzywa to tylko jeden punkt, więc nie trzeba dalej liczyć.

Mozna stwierdzić od razu, że postać kanoniczna tej krzywej to \(\displaystyle{ x'^2+y'^2=0}\), w pewnej bazie.

Przemas O'Black · Post autor: **Przemas O'Black** » 28 lis 2009, o 12:47

Oznacza to, że jeżeli macierz nie bardzo chce się diagonalizować, to wystarczy uzupełniać do kwadratu? Jeśli tak to rzeczywiście proste zadanie.

W siódmym zadaniu wystarczy chyba przeliczyć na symbolach, bo M ma być macierzą kwadratową 2 * 2?

____________
Nie reklamuj zadań.
Pozdrawiam,
miki999

Zordon · Post autor: **Zordon** » 28 lis 2009, o 12:49

Każda macierz symetryczna się diagonalizuje, powinno być na wykładzie. Więc próbuj dalej

Przemas O'Black · Post autor: **Przemas O'Black** » 28 lis 2009, o 13:05

Diagonalizacja macierzy

xiikzodz pisze:\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&\frac 12\\\frac 12&1\end{pmatrix}}\)

Wielomian charakterystyczny: \(\displaystyle{ x ^{2} - 2x + \frac{3}{4}}\)
Mamy \(\displaystyle{ x ^{2} - 2x + \frac{3}{4} = 0}\) dla \(\displaystyle{ x \in { \frac{1}{2} , \frac{3}{2} }}\).

\(\displaystyle{ (A - I \lambda ) * x = 0}\)
Więc \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} \frac{1}{2} &\ \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} * (a,b) = 0}\)
Po przemnożeniu otrzymujemy
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b = 0}\)

\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} &\ \frac{1}{2} \\\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} * (a,b) = 0}\)
Po przemnożeniu otrzymujemy
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b = 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b = 0}\)
\(\displaystyle{ - \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b = 0}\).
Z tego układu a = 0, b = 0.

Zordon · Post autor: **Zordon** » 28 lis 2009, o 13:22

nie, z pierwszej wartości własnej dostajesz wektor własny: \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1\\ -1 \end{pmatrix}}\) a z drugiej przykładowo \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}}\). Nawet są do siebie prostopadłe, po znormalizowaniu będą miały długość 1.