krzywe stopnia drugiego

[Przemas O'Black]

1. Podaj przykład równania krzywej stopnia 2 opisującego hiperbolę przechodzącą przez (0,3), taką że kąt między jej asymptotami wynosi \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\).

2. Dana jest krzywa \(\displaystyle{ x ^{2} + xy + y ^{2} - 1 = 0}\). Napisz jej równanie w układzie współrzędnych powstałym ze standardowego przez obrót o kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) (wszystko jedno w którą stronę) i rozstrzygnij, co to za krzywa.

3. Znajdź kanoniczne równanie krzywej diagonalizując stosowną macierz symetryczną (lub inaczej). \(\displaystyle{ x ^{2} + 3xy + y^{2} + 1 = 0}\).

4. Sprowadź do postaci kanonicznej \(\displaystyle{ x ^{2} - 2xy + y ^{2} + x + y = 0}\).

5. Niech X będzie wektorem własnym macierzy symetrycznej S, zaś Y niech będzie niezerowym wektorem prostopadłym do X. Uzasadnij, że S(Y) jest prostopadłe do X i wywnioskuj, że Y jest wektorem własnym S.

6. Uzasadnij, że jeśli F jest przekształceniem liniowym, to istnieją dwa niezerowe wektory U, W prostopadłe do siebie, takie że F(U) i F(W) są prostopadłe.

7. Załóżmy, że wartości własne macierzy symetrycznej M są dodatnie.
a) Uzasadnij, że dla każdego niezerowego wektora X mamy <MX, X> > 0.
b) Udowodnij, że jeśli P jest macierzą odwracalną to wartości własne macierzy \(\displaystyle{ P^{T}MP}\) są dodatnie.