Dany jest zbiór G wszystkich macierzy kwadratowych postaci
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a&b\\-b&a\end{array}\right]}\)
gdzie \(\displaystyle{ a,b \in {-1,0,1}}\)
Należało wykazać, że para G z mnożeniem jest grupą i sprawdzić czy jest abelową. Ale mniejsza o to, chodzi mi tu o drugi podpunkt. Trzeba znaleźć wszystkie podgrupy grupy G z mnożeniem. Jeżeli dobrze rozumiem materiał, grupa G ma 4 elementy. Jako wszystkie podgrupy mam rozumieć właśnie te elementy, czy wszystkie możliwe kombinacje, czy może jeszcze inaczej?
Podgrup macierzy kwadratowych
-
olejpoland
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 11 lis 2009, o 21:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lodz
- Podziękował: 1 raz
-
Tomasz Tkaczyk
- Użytkownik
- Posty: 476
- Rejestracja: 20 cze 2008, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 93 razy
Podgrup macierzy kwadratowych
Pisząc \(\displaystyle{ a, b \in \lbrace -1, 0, 1 \rbrace}\) tak, jak w tym poście, rozumiemy to, jako zbiór wszystkich kombinacji po wszystkich możliwych \(\displaystyle{ a, b}\).
Czyli w tej hipotetycznej grupie znalazłaby się macierz zerowa, która nie jest odwracalna w sensie mnożenia macierzy, więc określenie nie jest poprawne, jeśli zadanie ma mieć rozwiązanie.
Należy zaznaczyć, że \(\displaystyle{ a, b}\) mogą przybierać wartości \(\displaystyle{ 0}\), ale nie obie naraz.
Wówczas grupa ma \(\displaystyle{ 6}\) elementów.
Podgrupa \(\displaystyle{ H}\) grupy \(\displaystyle{ G}\) to grupa z tym samym działaniem, co w grupie \(\displaystyle{ G}\) taka, której zbiór jest podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ G}\).
Więc należy znaleźć takie podzbiory naszego sześcioelementowego zbioru, które wraz z mnożeniem tworzą grupę.
Podgrupy w tym wypadku są cztery: jedna to cała grupa, druga to podgrupa trywialna, a trzecią i czwartą trzeba znaleźć (jedna ma 3 elementy, druga ma 2 elementy).
Czyli w tej hipotetycznej grupie znalazłaby się macierz zerowa, która nie jest odwracalna w sensie mnożenia macierzy, więc określenie nie jest poprawne, jeśli zadanie ma mieć rozwiązanie.
Należy zaznaczyć, że \(\displaystyle{ a, b}\) mogą przybierać wartości \(\displaystyle{ 0}\), ale nie obie naraz.
Wówczas grupa ma \(\displaystyle{ 6}\) elementów.
Podgrupa \(\displaystyle{ H}\) grupy \(\displaystyle{ G}\) to grupa z tym samym działaniem, co w grupie \(\displaystyle{ G}\) taka, której zbiór jest podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ G}\).
Więc należy znaleźć takie podzbiory naszego sześcioelementowego zbioru, które wraz z mnożeniem tworzą grupę.
Podgrupy w tym wypadku są cztery: jedna to cała grupa, druga to podgrupa trywialna, a trzecią i czwartą trzeba znaleźć (jedna ma 3 elementy, druga ma 2 elementy).