Obliczyć wyznacznik macierzy stopnia \(\displaystyle{ n}\):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccccc}1&1&0&0&...&0&0\\0&1&1&0&...&0&0\\.&.&.&.&&.&.\\.&.&.&.&&.&.\\.&.&.&.&&.&.\\0&0&0&0&...&1&1\\1&0&0&0&...&0&1\end{array}\right]}\)
Oczywiście kropki pionowe miały być takie jak poziome, tylko nie wiem, jak to zapisać w LaTeX-ie.
Obliczyć wyznacznik macierzy stopnia n
-
wbb
- Użytkownik
- Posty: 464
- Rejestracja: 17 lut 2009, o 15:00
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 25 razy
Obliczyć wyznacznik macierzy stopnia n
Ostatnio zmieniony 25 lis 2009, o 20:23 przez miki999, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Zapewne chodzi o "\vdots", natomiast ukosne: "\ddots" ;) Zapisuje sie w LaTeX-u a nie w LaTeXie. Pozdrawiam.
Powód: Zapewne chodzi o "\vdots", natomiast ukosne: "\ddots" ;) Zapisuje sie w LaTeX-u a nie w LaTeXie. Pozdrawiam.
-
Tomasz Tkaczyk
- Użytkownik
- Posty: 476
- Rejestracja: 20 cze 2008, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 93 razy
Obliczyć wyznacznik macierzy stopnia n
Rozwiązanie składa się z \(\displaystyle{ n}\) kroków. Polega na przekształceniu macierzy do postaci górnotrójkątnej w sposób zachowujący wyznacznik.
W pierwszym kroku odejmujemy od \(\displaystyle{ n}\)-tego wiersza pierwszy wiersz.
W miejsce pierwsze \(\displaystyle{ n}\)-tego wiersza pojawi się \(\displaystyle{ 0}\), w miejsce drugie \(\displaystyle{ -1}\).
W drugim kroku dodajemy do \(\displaystyle{ n}\)-tego wiersza drugi wiersz.
W miejscach \(\displaystyle{ 1, 2}\) mamy zera, a na trzecim pojawia się \(\displaystyle{ 1}\).
Załóżmy, że \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste, większe od \(\displaystyle{ 2}\).
W kroku \(\displaystyle{ 2k + 1}\) dla \(\displaystyle{ k \in \lbrace 1, 2, ..., \frac{n}{2} - 3 \rbrace}\) odejmujemy od \(\displaystyle{ n}\)-tego wiersza wiersz \(\displaystyle{ 2k + 1}\).
W kroku \(\displaystyle{ 2k}\) dla \(\displaystyle{ k \in \lbrace 2, 3, ..., \frac{n}{2} - 1 \rbrace}\) dodajemy do \(\displaystyle{ n}\)-tego wiersza wiersz \(\displaystyle{ 2k}\).
Ostatecznie otrzymujemy macierz górnotrójkątną o przekątnej \(\displaystyle{ (1, 1, 1, ..., 1, 2)}\).
Wyznacznik macierzy górnotrójkątnej to iloczyn wyrazów z przekątnej, więc wynosi on \(\displaystyle{ 2}\).
Dla \(\displaystyle{ n}\) parzystego analogiczna procedura, ale w tym wypadku w przedostatnim kroku otrzymamy macierz o takich samych dwóch ostatnich wierszach, więc wyznacznik wyjdzie \(\displaystyle{ 0}\).
W pierwszym kroku odejmujemy od \(\displaystyle{ n}\)-tego wiersza pierwszy wiersz.
W miejsce pierwsze \(\displaystyle{ n}\)-tego wiersza pojawi się \(\displaystyle{ 0}\), w miejsce drugie \(\displaystyle{ -1}\).
W drugim kroku dodajemy do \(\displaystyle{ n}\)-tego wiersza drugi wiersz.
W miejscach \(\displaystyle{ 1, 2}\) mamy zera, a na trzecim pojawia się \(\displaystyle{ 1}\).
Załóżmy, że \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste, większe od \(\displaystyle{ 2}\).
W kroku \(\displaystyle{ 2k + 1}\) dla \(\displaystyle{ k \in \lbrace 1, 2, ..., \frac{n}{2} - 3 \rbrace}\) odejmujemy od \(\displaystyle{ n}\)-tego wiersza wiersz \(\displaystyle{ 2k + 1}\).
W kroku \(\displaystyle{ 2k}\) dla \(\displaystyle{ k \in \lbrace 2, 3, ..., \frac{n}{2} - 1 \rbrace}\) dodajemy do \(\displaystyle{ n}\)-tego wiersza wiersz \(\displaystyle{ 2k}\).
Ostatecznie otrzymujemy macierz górnotrójkątną o przekątnej \(\displaystyle{ (1, 1, 1, ..., 1, 2)}\).
Wyznacznik macierzy górnotrójkątnej to iloczyn wyrazów z przekątnej, więc wynosi on \(\displaystyle{ 2}\).
Dla \(\displaystyle{ n}\) parzystego analogiczna procedura, ale w tym wypadku w przedostatnim kroku otrzymamy macierz o takich samych dwóch ostatnich wierszach, więc wyznacznik wyjdzie \(\displaystyle{ 0}\).
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Obliczyć wyznacznik macierzy stopnia n
A czy nie lepiej skorzystać z rozwinięcia Laplace np względem pierwszej kolumny
Otrzymamy wtedy dwa wyznaczniki z macierzy trójkątnych stopnia \(\displaystyle{ n-1}\)
i istotnie dla nieparzystych n otrzymamy wyznacznik równy \(\displaystyle{ 2}\)
a dla parzystych wyniesie on \(\displaystyle{ 0}\)
W tym wypadku szybszym i lepszym pomysłem jest skorzystanie z rozwinięcia Laplace
Po zastosowaniu rozwnięcia Laplace jedna macierz będzie górnotrójkątna
a druga macierz będzie dolnotrójkątna
Otrzymamy wtedy dwa wyznaczniki z macierzy trójkątnych stopnia \(\displaystyle{ n-1}\)
i istotnie dla nieparzystych n otrzymamy wyznacznik równy \(\displaystyle{ 2}\)
a dla parzystych wyniesie on \(\displaystyle{ 0}\)
W tym wypadku szybszym i lepszym pomysłem jest skorzystanie z rozwinięcia Laplace
Po zastosowaniu rozwnięcia Laplace jedna macierz będzie górnotrójkątna
a druga macierz będzie dolnotrójkątna