Witam
Mam do obliczenia wyznacznik takiej macierzy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}5&6&0&0&0\\1&5&6&0&0\\0&1&5&6&0\\0&0&1&5&6\\0&0&0&1&5\end{array}\right]}\)
Widze ze na przekatnej sa same piatki (nie wiem czy to ma jakies znaczenie), a pomnozyc jakis wiersz lub kolumne i dodac do innego chyba tez nie ma sensu w tym przypadku :/ prosze o pomoc
Wyznacznik macierzy
-
arecek
- Użytkownik
- Posty: 283
- Rejestracja: 26 sty 2007, o 22:11
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 93 razy
Wyznacznik macierzy
Można z rozwiniecia La Placa , albo zastosować wzór rekurencyjny :
\(\displaystyle{ a_{3} = 5a_{2} - 6a_{1}}\)
\(\displaystyle{ a_{1} = 5}\)
\(\displaystyle{ a_{2} = 19}\)
\(\displaystyle{ a_{3} = 65}\)
\(\displaystyle{ a_{4} = 211}\)
\(\displaystyle{ a_{5} = 655}\)
a_{n} - wyznacznik macierzy n x n , zbudowanej wedlug danej zasady.
\(\displaystyle{ a_{3} = 5a_{2} - 6a_{1}}\)
\(\displaystyle{ a_{1} = 5}\)
\(\displaystyle{ a_{2} = 19}\)
\(\displaystyle{ a_{3} = 65}\)
\(\displaystyle{ a_{4} = 211}\)
\(\displaystyle{ a_{5} = 655}\)
a_{n} - wyznacznik macierzy n x n , zbudowanej wedlug danej zasady.
-
makshh
- Użytkownik
- Posty: 64
- Rejestracja: 2 lis 2009, o 18:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 5 razy
Wyznacznik macierzy
No wlasnie rowinieciem La Place'a to jest liczenia a liczenia (2 wyznaczniki macierzy 4x4), a tego wzoru rekurencyjnego nie rozumiem 
czyżby rozwiniecie La Place'a to jedyna metoda oprocz rekurencyjnej? Nie da jakos sie przeksztalcic tej macierzy?
czyżby rozwiniecie La Place'a to jedyna metoda oprocz rekurencyjnej? Nie da jakos sie przeksztalcic tej macierzy?-
arecek
- Użytkownik
- Posty: 283
- Rejestracja: 26 sty 2007, o 22:11
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 93 razy
Wyznacznik macierzy
Wzór rekurencyjny można zauważyć rozwijając 2 razy z la placa
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}5&6&0&0&0\\1&5&6&0&0\\0&1&5&6&0\\0&0&1&5&6\\0&0&0&1&5\end{array}\right] = 5* \left[\begin{array}{cccc}5&6&0&0\\1&5&6&0\\0&1&5&6\\0&0&1&5\end{array}\right] - 1 \left[\begin{array}{cccc}6&0&0&0\\1&5&6&0\\0&1&5&6\\0&0&1&5\end{array}\right] \\ = 5* \left[\begin{array}{cccc}5&6&0&0\\1&5&6&0\\0&1&5&6\\0&0&1&5\end{array}\right] - 6 \left[\begin{array}{ccc}5&6&0\\1&5&6\\0&1&5\end{array}\right] + 1\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\1&5&6\\0&1&5\end{array}\right]}\)
czyli \(\displaystyle{ a_{n} = 5a_{n-1} - 6a_{n-2} + 1*0}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}5&6&0&0&0\\1&5&6&0&0\\0&1&5&6&0\\0&0&1&5&6\\0&0&0&1&5\end{array}\right] = 5* \left[\begin{array}{cccc}5&6&0&0\\1&5&6&0\\0&1&5&6\\0&0&1&5\end{array}\right] - 1 \left[\begin{array}{cccc}6&0&0&0\\1&5&6&0\\0&1&5&6\\0&0&1&5\end{array}\right] \\ = 5* \left[\begin{array}{cccc}5&6&0&0\\1&5&6&0\\0&1&5&6\\0&0&1&5\end{array}\right] - 6 \left[\begin{array}{ccc}5&6&0\\1&5&6\\0&1&5\end{array}\right] + 1\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\1&5&6\\0&1&5\end{array}\right]}\)
czyli \(\displaystyle{ a_{n} = 5a_{n-1} - 6a_{n-2} + 1*0}\)
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Wyznacznik macierzy
Metoda Laplace nie jest jedyną metodą
Można skorzystać z eliminacji Gaussa lub rozkładu LU
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}5&6&0&0&0\\1&5&6&0&0\\0&1&5&6&0\\0&0&1&5&6\\0&0&0&1&5\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}5&6&0&0&0\\ \frac{1}{5} &5&6&0&0\\0&1&5&6&0\\0&0&1&5&6\\0&0&0&1&5\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}5&6&0&0&0\\ \frac{1}{5} & \frac{19}{5} &6&0&0\\0&1&5&6&0\\0&0&1&5&6\\0&0&0&1&5\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}5&6&0&0&0\\ \frac{1}{5} & \frac{19}{5} &6&0&0\\0& \frac{5}{19} &5&6&0\\0&0&1&5&6\\0&0&0&1&5\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}5&6&0&0&0\\ \frac{1}{5} & \frac{19}{5} &6&0&0\\0& \frac{5}{19} & \frac{65}{19} &6&0\\0&0&1&5&6\\0&0&0&1&5\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}5&6&0&0&0\\ \frac{1}{5} & \frac{19}{5} &6&0&0\\0& \frac{5}{19} & \frac{65}{19} &6&0\\0&0& \frac{19}{65} &5&6\\0&0&0&1&5\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}5&6&0&0&0\\ \frac{1}{5} & \frac{19}{5} &6&0&0\\0& \frac{5}{19} & \frac{65}{19} &6&0\\0&0& \frac{19}{65} & \frac{211}{65} &6\\0&0&0&1&5\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}5&6&0&0&0\\ \frac{1}{5} & \frac{19}{5} &6&0&0\\0& \frac{5}{19} & \frac{65}{19} &6&0\\0&0& \frac{19}{65} & \frac{211}{65} &6\\0&0&0& \frac{65}{211} &5\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}5&6&0&0&0\\ \frac{1}{5} & \frac{19}{5} &6&0&0\\0& \frac{5}{19} & \frac{65}{19} &6&0\\0&0& \frac{19}{65} & \frac{211}{65} &6\\0&0&0& \frac{65}{211} & \frac{665}{211} \end{bmatrix}}\)
Można skorzystać z eliminacji Gaussa lub rozkładu LU
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}5&6&0&0&0\\1&5&6&0&0\\0&1&5&6&0\\0&0&1&5&6\\0&0&0&1&5\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}5&6&0&0&0\\ \frac{1}{5} &5&6&0&0\\0&1&5&6&0\\0&0&1&5&6\\0&0&0&1&5\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}5&6&0&0&0\\ \frac{1}{5} & \frac{19}{5} &6&0&0\\0&1&5&6&0\\0&0&1&5&6\\0&0&0&1&5\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}5&6&0&0&0\\ \frac{1}{5} & \frac{19}{5} &6&0&0\\0& \frac{5}{19} &5&6&0\\0&0&1&5&6\\0&0&0&1&5\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}5&6&0&0&0\\ \frac{1}{5} & \frac{19}{5} &6&0&0\\0& \frac{5}{19} & \frac{65}{19} &6&0\\0&0&1&5&6\\0&0&0&1&5\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}5&6&0&0&0\\ \frac{1}{5} & \frac{19}{5} &6&0&0\\0& \frac{5}{19} & \frac{65}{19} &6&0\\0&0& \frac{19}{65} &5&6\\0&0&0&1&5\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}5&6&0&0&0\\ \frac{1}{5} & \frac{19}{5} &6&0&0\\0& \frac{5}{19} & \frac{65}{19} &6&0\\0&0& \frac{19}{65} & \frac{211}{65} &6\\0&0&0&1&5\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}5&6&0&0&0\\ \frac{1}{5} & \frac{19}{5} &6&0&0\\0& \frac{5}{19} & \frac{65}{19} &6&0\\0&0& \frac{19}{65} & \frac{211}{65} &6\\0&0&0& \frac{65}{211} &5\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}5&6&0&0&0\\ \frac{1}{5} & \frac{19}{5} &6&0&0\\0& \frac{5}{19} & \frac{65}{19} &6&0\\0&0& \frac{19}{65} & \frac{211}{65} &6\\0&0&0& \frac{65}{211} & \frac{665}{211} \end{bmatrix}}\)