Witam! Mam zadanie: sprawdź czy a należy do L(M)?
1. a = (1, 2), L({(1, 3)}) \(\displaystyle{ \subset R^{2}}\)
2. a = (2, -3), L({(1, 3),(1,-1)}) \(\displaystyle{ \subset R^{2}}\)
i jeszcze 5 innych. Gdyby ktoś mógłby wytłumaczyc mi te 2 przykłady tak, żebym mógł je zrobić i zrozumieć to będę bardzo wdzięczny a z resztą powinienem sobie już wteyd poradzić! Z góry dziękuje i pozdrawiam threetwos
Przestrzenie wektorowe, podpowie ktoś??
-
Tomasz Tkaczyk
- Użytkownik
- Posty: 476
- Rejestracja: 20 cze 2008, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 93 razy
Przestrzenie wektorowe, podpowie ktoś??
\(\displaystyle{ a \in L(M)}\) oznacza, że \(\displaystyle{ a}\) należy do podprzestrzeni liniowej generowanej przez zbiór \(\displaystyle{ M}\).
Innymi słowy, \(\displaystyle{ a}\) zapisuje się, jako kombinacja liniowa wektorów z \(\displaystyle{ M}\).
(a)Czy \(\displaystyle{ (1, 2)}\) jest kombinacją liniową wektora \(\displaystyle{ (1, 3)}\)?
Gdyby tak było, to istniałaby liczba rzeczywista \(\displaystyle{ k}\) taka, że
\(\displaystyle{ (1, 2) = k(1, 3)}\).
Zatem \(\displaystyle{ k = 1}\) i \(\displaystyle{ k = \frac{2}{3}}\), co jest niemożliwe.
(b) Czy \(\displaystyle{ (2, -3)}\) jest kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ (1, 3), (1, -1)}\).
Z pewnością, gdyż \(\displaystyle{ (1, 3), (1, -1)}\) są liniowo niezależne, \(\displaystyle{ R^{2}}\) ma wymiar \(\displaystyle{ 2}\), zatem \(\displaystyle{ L(\lbrace (1, 3), (1, -1) \rbrace) = R^{2}}\).
Można pobawić się w znalezienie odpowiednich \(\displaystyle{ k, l \in R}\) takich, że
\(\displaystyle{ (2, -3) = k(1, 3) + l(1, -1)}\), ale to niepotrzebne, zgodnie z powyższą sentencją.
Innymi słowy, \(\displaystyle{ a}\) zapisuje się, jako kombinacja liniowa wektorów z \(\displaystyle{ M}\).
(a)Czy \(\displaystyle{ (1, 2)}\) jest kombinacją liniową wektora \(\displaystyle{ (1, 3)}\)?
Gdyby tak było, to istniałaby liczba rzeczywista \(\displaystyle{ k}\) taka, że
\(\displaystyle{ (1, 2) = k(1, 3)}\).
Zatem \(\displaystyle{ k = 1}\) i \(\displaystyle{ k = \frac{2}{3}}\), co jest niemożliwe.
(b) Czy \(\displaystyle{ (2, -3)}\) jest kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ (1, 3), (1, -1)}\).
Z pewnością, gdyż \(\displaystyle{ (1, 3), (1, -1)}\) są liniowo niezależne, \(\displaystyle{ R^{2}}\) ma wymiar \(\displaystyle{ 2}\), zatem \(\displaystyle{ L(\lbrace (1, 3), (1, -1) \rbrace) = R^{2}}\).
Można pobawić się w znalezienie odpowiednich \(\displaystyle{ k, l \in R}\) takich, że
\(\displaystyle{ (2, -3) = k(1, 3) + l(1, -1)}\), ale to niepotrzebne, zgodnie z powyższą sentencją.