zad 1. Czy odwzorowanie f:R \(\displaystyle{ \rightarrow}\) R jest (R-) liniowe jesli dane wzorem f(x)=
a) 3x+1
b)2x
c)0
d)sinx
e) \(\displaystyle{ \left| x \right|}\)
zad.2
Niech "alfa":R \(\displaystyle{ ^{3}}\) \(\displaystyle{ \rightarrow}\) R \(\displaystyle{ ^{2}}\) bedzie odwzorowaniem liniowym majacym w bazach standardowych macierz
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&1&0\end{array}\right]}\)
Wylicz m\(\displaystyle{ _{CB}}\) ("alfa") gdzie n bazy:
B=(( 1 0 1 ), ( 0 1 1 ), ( 1 0 -1 ) oraz C= ((1 -1), (1 1 ))
zad.3
Niech "alfa": R \(\displaystyle{ ^{2}}\) \(\displaystyle{ \rightarrow}\) R \(\displaystyle{ ^{2}}\) bedzie odwzorowaniem liniowym majacym w bazie standardowej macierz
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2\\3&4\end{array}\right]}\)
Jaka jest macierz odwzorowania "alfa" w n bazie
a) B= ((1 1), (1 -1))
b) C= ((1 -1) (1 1 ))
Czy odwzorowanie jest liniowe?
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Czy odwzorowanie jest liniowe?
1) z definicji odwzorowania liniowego
2),3) ze wzoru na zmianę macierzy przy zmianie bazy
A z czym masz tutaj konkretnie problem?
Pozdrawiam.
2),3) ze wzoru na zmianę macierzy przy zmianie bazy
A z czym masz tutaj konkretnie problem?
Pozdrawiam.
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Czy odwzorowanie jest liniowe?
Definicja (w skrócie): f jest odwzorowaniem liniowym jeśli \(\displaystyle{ f(ax+by)=af(x)+bf(y)}\) (a,b stałe, x,y elementy przestrzeni).
Np sprawdzamy 1a):
\(\displaystyle{ L: f(ax+by)=3(ax+by)+1=3ax+3by+1}\)
\(\displaystyle{ P: af(x)+bf(y)=a(3x+1)+b(3y+1)=3ax+3by+a+b}\)
Jak widać, nie jest to to samo (w ogólnym przypadku), a więc funkcja z 1a) nie jest odwzorowaniem liniowym.
Pozostałe w 1 analogicznie
Twierdzenie o zmianie macierzy: Jeśli M jest macierzą odwzorowania w bazach B,C oraz M' jest macierzą tego samego odwzorowania w bazach B', C' to \(\displaystyle{ M'=Q^{-1}MP}\), gdzie P jest macierzą przejścia od B do B', a Q jest macierzą przejścia od C do C'.
Macierz przejścia z bazy kanonicznej do dowolnej innej łatwo znaleźć: wystarczy zapisać kolumnami po kolei wektory bazowe.
Np 2:
\(\displaystyle{ M=\left[\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&1&0\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ B=(( 1, 0 ,1 ), ( 0, 1 ,1 ), ( 1, 0, -1 )\ \Rightarrow \ P=\begin{bmatrix}1&0&1\\ 0&1&0\\ 1&1&-1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ C= ((1, -1), (1, 1 ))\ \Rightarrow \ Q=\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}}\)
a więc szukana macierz ma postać \(\displaystyle{ M'=Q^{-1}MP}\). Wystarczy wykonać te działania.
W zadaniu 3 w dziedzinie i przeciwdziedzinie masz tą samą bazę.
Pozdrawiam.
Np sprawdzamy 1a):
\(\displaystyle{ L: f(ax+by)=3(ax+by)+1=3ax+3by+1}\)
\(\displaystyle{ P: af(x)+bf(y)=a(3x+1)+b(3y+1)=3ax+3by+a+b}\)
Jak widać, nie jest to to samo (w ogólnym przypadku), a więc funkcja z 1a) nie jest odwzorowaniem liniowym.
Pozostałe w 1 analogicznie
Twierdzenie o zmianie macierzy: Jeśli M jest macierzą odwzorowania w bazach B,C oraz M' jest macierzą tego samego odwzorowania w bazach B', C' to \(\displaystyle{ M'=Q^{-1}MP}\), gdzie P jest macierzą przejścia od B do B', a Q jest macierzą przejścia od C do C'.
Macierz przejścia z bazy kanonicznej do dowolnej innej łatwo znaleźć: wystarczy zapisać kolumnami po kolei wektory bazowe.
Np 2:
\(\displaystyle{ M=\left[\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&1&0\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ B=(( 1, 0 ,1 ), ( 0, 1 ,1 ), ( 1, 0, -1 )\ \Rightarrow \ P=\begin{bmatrix}1&0&1\\ 0&1&0\\ 1&1&-1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ C= ((1, -1), (1, 1 ))\ \Rightarrow \ Q=\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}}\)
a więc szukana macierz ma postać \(\displaystyle{ M'=Q^{-1}MP}\). Wystarczy wykonać te działania.
W zadaniu 3 w dziedzinie i przeciwdziedzinie masz tą samą bazę.
Pozdrawiam.