Szukanie istnienia rozwiązań układu równań

[deniu]

Witam,
mam następujący problem:

Dana jest macierz \(\displaystyle{ A}\):
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&1&2\\3&4&5\\6&7&8\end{bmatrix}}\)
wektor \(\displaystyle{ x}\):
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}\)
wektor \(\displaystyle{ b}\):
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}\)

Pytanie brzmi dla jakich wektorów \(\displaystyle{ b}\) układ \(\displaystyle{ A*b=x}\) ma rozwiązanie?

Doszedłem tylko do tego, że wyznacznik tej macierzy jest równy zero, nie mogę jej więc odwrócić. Rzadko mam kontakt z macierzami, przez co pojawiają się takie problemy.

Na początek poproszę o wędkę... czyli jakieś sugestie dotyczące metody, którą powinienem się zainteresować.

[BettyBoo]

Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Pozdrawiam.

[deniu]

Wstępnie dziękuję, ale wracam z kolejnym pytaniem.
Czy zatem problem mój polega na wyznaczeniu takiego wektora \(\displaystyle{ b}\) dla którego rząd macierzy rozszerzonej będzie równy dwa, tzn. wyznaczniki minorów 3x3 muszą być równe zero? Sądzę, że to daje konkretną odpowiedź.


Gdyby ktoś zechciał sprawdzić to z moich obliczeń wynika, że układ ma rozwiązania dla \(\displaystyle{ b}\):
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0\\0.5\cdot t\\t\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ t\in \mathbb{R}}\)

Pozdrawiam

[JankoS]

... wyznaczniki minorów 3x3 muszą być równe zero?

i przynajmniej jeden z minorów 2x2 , gdzie jedna kolumna jest elemntami macierzy głównej, druga elementami macierzy rozszerzonej jest niezerowy.

... że układ ma rozwiązania dla \(\displaystyle{ b}\):
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0\\0.5\cdot t\\t\end{bmatrix}}\)

Ma. Nie jest to rozwiązanie jedyne. Liczyłem sobie metodą Gaussa i wyszło mi, ze ma być \(\displaystyle{ b_1-2b_2+b_3=0.}\)

[deniu]

Ma. Nie jest to rozwiązanie jedyne. Liczyłem sobie metodą Gaussa i wyszło mi, ze ma być \(\displaystyle{ b_1-2b_2+b_3=0.}\)

A jak sprawdzić czy dla \(\displaystyle{ b_1-2b_2+b_3=0.}\) wszystkie minory 3x3 mają wyznacznik równy \(\displaystyle{ 0}\)?

Dlaczego powinienem zająć się również tym rozwiązaniem?

Już z pierwszego minora 2x2 \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&b_{1}\\5&b_{2}\end{bmatrix}}\) wynika, że \(\displaystyle{ b_{1}\neq 0.4\cdot b_{2}}\) co w tym dość ogólnym wg mnie rozwiązaniu, do którego doszedłem nie zachodzi.

[JankoS]

A jak sprawdzić czy dla \(\displaystyle{ b_1-2b_2+b_3=0.}\) wszystkie minory 3x3 mają wyznacznik równy \(\displaystyle{ 0}\)?
Dlaczego powinienem zająć się również tym rozwiązaniem?

Chyba zbyt mętnie napisałem.
Z rozwiązywania układu metodą Gausa wynika, że dowolny wektor \(\displaystyle{ (b_1,b_2,b_3)}\), którego składowe spełniają warunek \(\displaystyle{ b_1-2b_2+b_3=0.}\) jest rozwiązaniem zadania, ergo rozwiązań (wektorów wyrazów wolnych) jest nieskończenie wiele. Np.(0,0,0,, (0,4,8), (-t,-t,-t)...
Sprawdzać nie trzeba, ale jak się chce, to można podtawić za kolumnę wyrazów wolnych, np \(\displaystyle{ (b_1,b_2,2b_2-b_1)^T}\) i powinno wyjść 0.

Już z pierwszego minora 2x2 \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&b_{1}\\5&b_{2}\end{bmatrix}}\) wynika, że \(\displaystyle{ b_{1}\neq 0.4\cdot b_{2}}\) co w tym dość ogólnym wg mnie rozwiązaniu, do którego doszedłem nie zachodzi.

Wprawdzie nie widzę sensu liczenia minorów w metodzie, którą stosowałem, ale dlaczego nie zachodzi? dla \(\displaystyle{ t \neq 0 \quad 0 \neq 0,5t.}\)

[deniu]

Wielkie dzięki!