Znalezc rozwiazanie i sprawdzic. parametr m.

okon · Post autor: **okon** » 22 lis 2009, o 23:35

Witam.
Dany jest układ równań z parametrem m. \(\displaystyle{ m \in R}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 4x_{1}+3x_{2}-x_{3}+9x_{4}=5 \\ 7x_{1}-x_{2}+2x_{3}+7x_{4}=5 \\ x_{1}+2x_{2}-x_{3}+x_{4}=m \end{cases}}\)

Mam znaleźć jego rozwiazaniei dokonać sprawdzenia dla m=2 oraz zbadać rozwiązalność układu i podać rozwiązania (jeśli istnieją) dla m=/= 2.

Proszę o wskazówki... -- 23 listopada 2009, 00:07 --Może zaczniemy od rzędu... proszę tak na chłopski rozum mi wytłumaczyc o jaki chodzi minor....

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 23 lis 2009, o 01:03

Weź zacznij od eliminacji Gaussa a powinno wyjść jaki to minor
Rząd macierzy też liczysz za pomocą eliminacji Gaussa

okon · Post autor: **okon** » 23 lis 2009, o 01:04

dobra. doczytalem sie w internecie, no i pytanie, czy dobrze kminie:

u mnie macierz ma wymiary 3x4
wiec rzad maksymalnie to 3.
obliczam sobie wyznaczynik np taki:

4 3 -1
7 -1 2
1 2 -1

Wyznaczynik jest równy od 0, wiec rząd macierzy jest 3 tak czy nie?
prosze o wyjasnienie, bo nawet jak to jest dobrze to dalej nie rusze...

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 23 lis 2009, o 01:06

Wyznacznik musi być różny od zera
tak rząd maksymalnie może wynosić 3

Dlaczego nie chcesz użyć eliminacji Gaussa
Mnie wyszło

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}= \frac{1}{5} \left(2m-x_{3} \right) \\ -\frac{1}{15} \left(5-7m-9x_{3} \right) \\ x_{3}=x_{3}\\x_{4}= \frac{1}{3} \left(2-m \right) \end{cases}}\)

okon · Post autor: **okon** » 23 lis 2009, o 01:14

czyli tak jak robie jest poprawnie?
macierz A jest wymiarow 3x4, wiec 'odcinam' od niej jedna kolumne(obojetnie jaka) powstaje mi w ten sposob macierz 3x3. Obliczam jej wyznaczynik, i jak jest rozny od zera to rzad macierzy jest rowny 3, jesli nie to kasuje inna kolumne i licze kolejny tak?

a gdy bedzie np: 4x3, to wtedy tak samo 3x3 maksymalny wymiar, tylko ze kasuje jakis wiersz?

no i jak bedzie np: 10x4, kasuje sobie wybrane 6 wierszy i maks rzad macierzy moze byc 4 tak? ;]

Prosze oświeć mnie ;]

Wspomniales cos o el. gaussa. Czyli musialbym sprowadzic ta macierz do postaci, ze pod glowna przekatna sa same zera tak? i ze ilosc 'schodkow' pokazuje nam jaki jest rzad danej macierzy.?

-- 23 listopada 2009, 02:01 --

nie wiem jakim cudem Ci tak wyszło

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 23 lis 2009, o 02:02

Jeżeli masz układ równań z prostokątną macierzą główną to liczysz rzędy macierzy

Jeżeli rząd macierzy głównej jest równy macierzy to możesz wybierasz podmacierz kwadratową
o niezerowym wyznaczniku nadmiarowe niewiadome na drugą stronę i obliczasz tak jak układ Cramera

Metodą eliminacji Gaussa tak jak napisałeś sprowadzasz macierz do postaci trójkątnej
Tak jak wspomniałeś ilość schodków to rząd
Do eliminacji bierzesz całą macierz rozszerzoną i jeżeli jakiś wiersz się tobie
wyzeruje to dopiero go skreślasz
Jeżeli zauważysz że ilość schodków w macierzy głównej układu jest różna od ilości schodków
macierzy rozszerzonej to znaczy że układ równań liniowych jest sprzeczny

Ja użyłem eliminacji Gaussa ale jeszcze sprawdź ten wynik bo mogłem się gdzieś w rachunkach pomylić

Oto operacje elementarne jakich użyłem

\(\displaystyle{ w_{2}-7w_{3}->w_{2}}\)

\(\displaystyle{ -4w_{3}+w_{1}->w_{3}}\)

\(\displaystyle{ w_{2}-5w_{3}->w_{3}}\)

okon · Post autor: **okon** » 23 lis 2009, o 02:14

a czy przy tej eliminacji, moge zamieniac sobie kolumny i wiersze? zmieni mi to wynik?

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 23 lis 2009, o 02:30

Jeżeli zamieniasz kolumny to musisz zamienić odpowiednie wiersze w macierzy wyniku
Jeżeli zamieniasz tylko wiersze to z macierzą wyniku nie musisz nic robić

Zamiana wierszy i kolumn może pomóc wtedy gdy na głównej przekątnej pojawi się zero
a jeżeli piszesz program to może też poprawić własności numeryczne programu

okon · Post autor: **okon** » 23 lis 2009, o 02:39

wyszlo mi tak:

1 2 -1 1 m
0 0 0 -15 6-10m
0 -5 3 5 m-4

tak?

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 23 lis 2009, o 02:57

Mniej więcej tak to można zinterpretować
Jak się wyśpisz to się lepiej w tym połapiesz

No to ja wypisze po kolei co mi wyszło
ale to trochę potrwać bo zanim zapiszę to w texu

\(\displaystyle{ \begin{cases} 4x_{1}+3x_{2}-x_{3}+9x_{4}=5 \\ 7x_{1}-x_{2}+2x_{3}+7x_{4}=5\\x_{1}+2x_{2} -x_{3}+x_{4}=m\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 4x_{1}+3x_{2}-x_{3}+9x_{4}=5 \\ 7x_{1}-x_{2}+2x_{3}+7x_{4}=5\\-7x_{1}-14x_{2} +7x_{3}-7x_{4}=-7m\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 4x_{1}+3x_{2}-x_{3}+9x_{4}=5 \\ \qquad -15x_{2}+9x_{3} \qquad=5-7m\\x_{1}+2x_{2} -x_{3}+x_{4}=m\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 4x_{1}+3x_{2}-x_{3}+9x_{4}=5 \\ \qquad -15x_{2}+9x_{3} \qquad=5-7m\\-4x_{1}-8x_{2} +4x_{3}-4x_{4}=-4m\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 4x_{1}+3x_{2}-x_{3}+9x_{4}=5 \\ \qquad -15x_{2}+9x_{3} \qquad=5-7m\\ \qquad -5x_{2} +3x_{3}+5x_{4}=5-4m\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 4x_{1}+3x_{2}-x_{3}+9x_{4}=5 \\ \qquad -15x_{2}+9x_{3} \qquad=5-7m\\ \qquad 15x_{2} -9x_{3}-15x_{4}=-15+12m\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 4x_{1}+3x_{2}-x_{3}+9x_{4}=5 \\ \qquad -15x_{2}+9x_{3} \qquad=5-7m\\ \qquad \qquad \qquad -15x_{4}=-10+5m\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 4x_{1}+3x_{2}-x_{3}+9x_{4}=5 \\ \qquad -15x_{2}+9x_{3} \qquad=5-7m\\ \qquad \qquad \qquad -3x_{4}=-2+m\end{cases}}\)

Na tym można skończyć etap eliminacji
Następnym etapem jest podstawianie zwane wstecznym postępowaniem

\(\displaystyle{ \begin{cases}4x_{1}+3x_{2}-x_{3}+3 \left(2-m \right) =5 \\x_{2}= -\frac{1}{15} \left(5-7m-9x_{3} \right) \\ x_{4}= \frac{1}{3} \left(2-m \right) \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}4x_{1}+3x_{2}-x_{3}+6-3m =5 \\x_{2}= -\frac{1}{15} \left(5-7m-9x_{3} \right) \\ x_{4}= \frac{1}{3} \left(2-m \right) \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}4x_{1}+3x_{2}-x_{3}=-1+3m \\x_{2}= -\frac{1}{15} \left(5-7m-9x_{3} \right) \\ x_{4}= \frac{1}{3} \left(2-m \right) \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}4x_{1}+3x_{2}=-1+3m+x_{3} \\x_{2}= -\frac{1}{15} \left(5-7m-9x_{3} \right) \\ x_{4}= \frac{1}{3} \left(2-m \right) \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}4x_{1}-\frac{1}{5} \left(5-7m-9x_{3} \right)=-1+3m+x_{3} \\x_{2}= -\frac{1}{15} \left(5-7m-9x_{3} \right) \\ x_{4}= \frac{1}{3} \left(2-m \right) \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}20x_{1}-5+7m+9x_{3} \right)=-5+15m+5x_{3} \\x_{2}= -\frac{1}{15} \left(5-7m-9x_{3} \right) \\ x_{4}= \frac{1}{3} \left(2-m \right) \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}20x_{1}=8m-4x_{3} \\x_{2}= -\frac{1}{15} \left(5-7m-9x_{3} \right) \\ x_{4}= \frac{1}{3} \left(2-m \right) \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}5x_{1}=2m-x_{3} \\x_{2}= -\frac{1}{15} \left(5-7m-9x_{3} \right) \\ x_{4}= \frac{1}{3} \left(2-m \right) \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}x_{1}= \frac{1}{5} \left( 2m-x_{3}\right) \\x_{2}= -\frac{1}{15} \left(5-7m-9x_{3} \right) \\ x_{4}= \frac{1}{3} \left(2-m \right) \end{cases}}\)

Na mój rozum dla m=2 nie będzie sprzeczności

okon · Post autor: **okon** » 23 lis 2009, o 03:18

JESTEŚ WIELKI! )
Dziękuje bardzo za tak szczegółowe rozwiązanie! :]
nie jedną kartkę zmarnowałem i niestety mi nie wyszło... może to przez tą godzinę.

Jeszcze raz dziekuję i pozdrawiam