układ równań (3 równania 4 niewiadome)

[lukisp2]

Rozwiąż układ równań.
\(\displaystyle{ \begin{cases}-x+y+2z+t=3\\
2x+y+2z-t=4\\
x-y-z+2t=2\end{cases}}\)

Kolo z liczb zespolonych i macierzy, nie mam pojęcia jak to się robi przy pomocy macierzy. Chyba czegoś jest za mało!!!

[justynian]

wszystkiego jest ile trzeba. problem w tym ze mamy mniej równań niż niewiadomych czyli nie skorzystamy ze wzorów Cramera. Ale możemy skorzystać ze twierdzenia Kroneckera-Capelliego. Nie będe się rozwodził pokaże ci jakto zrobić a jak cię zainteresuje znajdziesz sobie o tym w necie.

mamy wyznacznik \(\displaystyle{ W=\begin{vmatrix} -1&1&2&1\\2&1&2&-1\\1&-1&-1&2\end{vmatrix}}\)
wyznacznik uzupełniony \(\displaystyle{ U=\begin{vmatrix} -1&1&2&1&3\\2&1&2&-1&4\\1&-1&-1&2&2\end{vmatrix}}\)

szukamy \(\displaystyle{ r(W)}\) i \(\displaystyle{ r(U)}\)

w \(\displaystyle{ (W)}\) eliminujemy 4 kolumnę i mamy \(\displaystyle{ r(W)=3}\)
w \(\displaystyle{ (U)}\) eliminujemy 2 i 3 kolumnę i mamy \(\displaystyle{ r(U)=3}\)

z twierdzenia wiemy że jeśli rząd macierzy uzupełnionej i wyznacznika jest mniejszy od liczby niewiadomych to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań i to powinno wystarczyć.

[Mariusz M]

Gdy obliczysz rzędy macierzy głównej i rozszerzonej wtedy łatwo
sprowadzić układ do postaci Cramera
Wybierasz podmacierz kwadratową stopnia r
nadmiarowe niewiadome przenosisz do kolumny /macierzy wyrazów wolnych
i możesz zastosować wzory Cramera