uklad rownan liniowych, gdzie blad

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
patisono
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 16 paź 2009, o 18:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: krakow

uklad rownan liniowych, gdzie blad

Post autor: patisono »

Proszę o wskazanie błędu w obliczeniach,

Podany układ równań liniowych:

2\(\displaystyle{ x _{1}}\) +\(\displaystyle{ x _{2}}\) -x\(\displaystyle{ _{3}}\) +4\(\displaystyle{ x _{4}}\) = 5
-\(\displaystyle{ x _{1}}\) +3\(\displaystyle{ x _{2}}\) -2\(\displaystyle{ x _{3}}\) -\(\displaystyle{ x _{4}}\) = 10
3\(\displaystyle{ x _{1}}\) +2\(\displaystyle{ x _{2}}\) + 0 -2\(\displaystyle{ x _{4}}\) = -8

macierz A = \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}2&1&-1&4\\-1&3&-2&-1\\3&2&0&-2\end{array}\right]}\)

m. rozszerzona - macierz B = macierz A = \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}2&1&-1&4&5\\-1&3&-2&-1&10\\3&2&0&-2&-8\end{array}\right]}\)


1) Określam rząd macierzy A

\(\displaystyle{ M _{3}}\)= \(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}2&1&-1\\-1&3&-2\\3&2&0\end{array}\right|}\) = \(\displaystyle{ (-1) ^{1+3}}\) * (-1) *(-6 * -15)= -21

2) rzad macierzy A = 3 wiec rz m B =3
rz m < ilosc niewiadomych wiec nieskonczenie wiele rozwiazan

3) \(\displaystyle{ x _{4}}\) = \(\displaystyle{ \alpha}\)

2\(\displaystyle{ x _{1}}\) +\(\displaystyle{ x _{2}}\) -\(\displaystyle{ x _{3}}\) = 5 - 4 \(\displaystyle{ \alpha}\)
-\(\displaystyle{ x _{1}}\) +3\(\displaystyle{ x _{2}}\) -2\(\displaystyle{ x _{3}}\) = 10 + \(\displaystyle{ \alpha}\)
3\(\displaystyle{ x _{1}}\) +2\(\displaystyle{ x _{2}}\) + 0 = -8 +2 \(\displaystyle{ \alpha}\)

4) \(\displaystyle{ x _{1}}\) = \(\displaystyle{ \frac{1}{21}}\) * \(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}5-4 \alpha &1&-1\\10+ \alpha &3&-2\\-8+2 \alpha &2&0\end{array}\right|}\) = \(\displaystyle{ \frac{1}{21}}\) * \(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}5-4 \alpha &1&-1\\9\alpha &1&-2\\-8+2 \alpha &2&0\end{array}\right|}\) =\(\displaystyle{ \frac{1}{21}}\)* (-1) ^{4} * (-1) * 16 \(\displaystyle{ \alpha}\) +8

\(\displaystyle{ x _{2}}\)= \(\displaystyle{ \frac{1}{21}}\) * \(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}2 &5-4 \alpha&-1\\-1 &10+ \alpha&-2\\3 &-8+2 \alpha&0\end{array}\right|}\)= \(\displaystyle{ -\frac{1}{21}}\)* (40-10 \(\displaystyle{ \alpha}\) -27\(\displaystyle{ \alpha )}\)

\(\displaystyle{ x _{3}}\) =\(\displaystyle{ \frac{1}{21}}\) * \(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}2 &1&5-4 \alpha\\-1 &3&10+ \alpha\\3 &2&-8+2 \alpha\end{array}\right|}\) =\(\displaystyle{ \frac{1}{21}}\) * (- 215 +16 )\(\displaystyle{ \alpha}\)

5) \(\displaystyle{ \alpha}\) =0
\(\displaystyle{ x _{4}}\)= \(\displaystyle{ \alpha}\)

6) 3\(\displaystyle{ x _{1}}\) +2\(\displaystyle{ x _{2}}\) + 0 -2\(\displaystyle{ x _{4}}\) = -8
niestety po podstawieniu do rownan nic sie nie zgadza..
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

uklad rownan liniowych, gdzie blad

Post autor: BettyBoo »

Na pewno masz obliczony źle wyznacznik główny - nie wiem skąd Ci tyle wyszło, powinno być 13.

Pozostałych nie sprawdzałam dokładnie, ale są obliczone niepoprawnie. Nie wiem, skąd otrzymujesz takie wzory.

W każdym razie - w pierwszym i drugim wyznaczniku najłatwiej najpierw od wiersza 2 odjąć podwojony pierwszy i skorzystać z Laplace'a względem ostatniej kolumny. W trzecim dodać do pierwszego wiersza podwojony drugi oraz do trzeciego wiersza potrojony drugi, a potem rozwinięcie Laplace'a.

Można oczywiście od razu je obliczyć, korzystając z Sarrusa.

Przelicz jeszcze raz. Jeśli nadal nie będzie wychodziło - pisz.

Pozdrawiam.
JankoS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3101
Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarów
Pomógł: 635 razy

uklad rownan liniowych, gdzie blad

Post autor: JankoS »

patisono pisze:Proszę o wskazanie błędu w obliczeniach,
Błąd jest w metodzie.
Układ tych równań nie jest układem równań Cramera, więc nie wypada stosować metody wyznacznikowej.*
Zastosowałbym metodę eliminacji zmiennych Gaussa albo najzwyklejsze podstawianie: z trzeciego wyznaczam \(\displaystyle{ x_4}\), podstawiam do drugiego i wyznaczam \(\displaystyle{ x_3}\). Otrzymane \(\displaystyle{ x_3, x_4}\)podstawiam do pierwszego itd.
dodane
* Poniewczasie zauważyłem, że Koleżanka przerobła układ na Cramerowski.
Nie stosowałbym tej metody, chyba że w poleceniu jawnie o tym pisze.
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

uklad rownan liniowych, gdzie blad

Post autor: Mariusz M »

JankoS mylisz się powyższy układ łatwo sprowadzić do postaci Cramera
przenosząc

\(\displaystyle{ x_{4}}\)

do macierzy wyrazów wolnych i traktując jako parametr

Wtedy można zastosować wzory Cramera
Wyznacznik główny jest równy 13 tak jak to obliczyła Betty

Metoda eliminacji Gaussa byłaby szybsza jednak można skorzystać z wzorów Cramera

Ja rozwiązałem ten układ metodą eliminacji Gaussa

Oto operacje elementarne

\(\displaystyle{ 3w_{2}+w_{3}->w_{3}}\)

\(\displaystyle{ 2w_{2}+w_{1}->w_{2}}\)

\(\displaystyle{ -11w_{2}+7w_{3}->w_{3}}\)

Oto wynik jaki mi wyszedł

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{13} \left(-8-16x_{4} \right) \ , \frac{1}{13} \left(-40+37x_{4} \right) \ , \frac{1}{13} \left(-121+57x_{4} \right) \ ,x_{4} \right)}\)
JankoS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3101
Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarów
Pomógł: 635 razy

uklad rownan liniowych, gdzie blad

Post autor: JankoS »

mariuszm pisze:JankoS mylisz się powyższy układ łatwo sprowadzić do postaci Cramera
Czytałbym wszystko.
patisono
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 16 paź 2009, o 18:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: krakow

uklad rownan liniowych, gdzie blad

Post autor: patisono »

Dziekuje za pomoc!

Wyznacznik to rzeczywiscie 13.

X\(\displaystyle{ _{1}}\) = -\(\displaystyle{ \frac{1}{13}}\)(16 \(\displaystyle{ \alpha}\) +8)

X\(\displaystyle{ _{2}}\) = -\(\displaystyle{ \frac{1}{13}}\)(40-37\(\displaystyle{ \alpha}\) )

X\(\displaystyle{ _{3}}\) = \(\displaystyle{ \frac{1}{13}}\)(-121+57\(\displaystyle{ \alpha}\) )
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

uklad rownan liniowych, gdzie blad

Post autor: Mariusz M »

JankoS pisze:
mariuszm pisze:JankoS mylisz się powyższy układ łatwo sprowadzić do postaci Cramera
Czytałbym wszystko.
Tak ale napisałeś że błąd jest w metodzie
Ale gdy sprowadzisz układ do postaci Cramera to można użyć wzorów Cramera
JankoS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3101
Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarów
Pomógł: 635 razy

uklad rownan liniowych, gdzie blad

Post autor: JankoS »

mariuszm pisze: Ale gdy sprowadzisz układ do postaci Cramera to można użyć wzorów Cramera
Toż tam napisałem "Poniewczasie zauważyłem, że Koleżanka przerobła układ na Cramerowski".
ODPOWIEDZ