baza sumy podprzestrzeni

[Wilkołak]

Wykład i ćwiczenia miałem kompletnie niezrozumiałe, więc proszę o pomoc. Mam pewien problem z wyznaczeniem bazy podprzestrzeni \(\displaystyle{ X + Y, X \cap Y \subset R^3}\) i mam podane:

\(\displaystyle{ X = { \vec{x} \in R^3 : x_1 + x_2 + x_3 = 0}}\)
\(\displaystyle{ Y = { \vec{y} \in R^3 : x3 = 0}}\)

Wydaje mi się, że bazą X i Y jest:
\(\displaystyle{ X = span\{\begin{bmatrix} 1\\0\\-1\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\1\\-1\end{bmatrix}\}}\)
\(\displaystyle{ Y = span\{\begin{bmatrix} 1\\0\\0\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\1\\0\end{bmatrix}\}}\)

W mądrej książce znalazłem, że \(\displaystyle{ X \cap Y}\) jest przestrzenią rozwiązań układu, który składa się ze wszystkich równań układu X i wszystkich równań układu Y. Czyli wtedy:

\(\displaystyle{ X \cap Y = \{ \vec{v} \in R^3 : x_1 + x_2 + x_3 = 0 \wedge x3 = 0}\}=}\)
\(\displaystyle{ = \{ \vec{v} \in R^3 : x3 = 0 \wedge x_2 = - x_1\}}\)

Czyli bazą \(\displaystyle{ X \cap Y}\) jest:

\(\displaystyle{ X \cap Y = span \{\begin{bmatrix} 1\\-1\\0\end{bmatrix} \}}\)

Czy dobrze myślę?

Dalej w tej książce znalazłem, że:
\(\displaystyle{ X + Y = span \{ X \cup Y \}}\)

Czyli w tym przypadku:
\(\displaystyle{ X = span\{\begin{bmatrix} 1\\0\\-1\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\1\\-1\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 1\\0\\0\end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0\\1\\0\end{bmatrix}\}}\)

Ale teraz mam układ liniowo zależny. Czyli mam zbadać który z tych wektorów usunąć? Według mnie można usunąć każdy z nich i otrzymamy niezależny układ wektorów rozpinający przestrzeń X + Y.

Dobrze myślę?

Aha, i jak rozumieć w tym przypadku, że:
Jeśli X i Y są podprzestrzeniami V, to przez X + Y będziemy oznaczać zbiór \(\displaystyle{ \{ x + y : x \in X, y \in Y \}}\) . Jak to przedstawić dla tego przypadku? Pewnie źle rozumowałem wyżej.

O, a może \(\displaystyle{ X + Y = \{ \vec{v} \in R^3 : x_1 + x_2 \ dowolne \ \wedge x_3 = -x_2 - x_1 \}}\) ?

[BettyBoo]

Wszystko dobrze zrozumiałeś i dobrze rozwiązałeś.

Wymiar przestrzeni X+Y wyznacza się jako sumę wymiarów X i Y pomniejszoną o wymiar ich przecięcia. Dla Ciebie to oznacza, że dim(X+Y)=3, a więc to jest całe \(\displaystyle{ R^3}\). Bazę możesz wybrać zupełnie dowolnie - np wybrać dowolne 3 liniowo niezależne wektory ze zbioru tworzących przestrzeni X i Y.


Aby zapisać jawną postać wektorów z X+Y trzeba mieć najpierw jawną postać wektorów z X i Y.
U Ciebie to jest tak: wektory z X mają np postać (a+b,-a,-b), gdzie a,b są dowolne rzeczywiste.
Wektory z Y mają postać (t,s,0), gdzie t,s są dowolne rzeczywiste.

Wobec tego wektory z X+Y mają postać (a+b,-a,-b)+(t,s,0)=(a+b+t, -a+s, -b), gdzie a,b,s,t są dowolne rzeczywiste. Rzecz jasna, jeśli wie się jak wygląda wymiar i jak wygląda baza w X+Y, to można podać "ładniejsze" przedstawienie.

Pozdrawiam.

[Wilkołak]

No dobra, wiadomo jaki jest wymiar X + Y:
\(\displaystyle{ dim(X + Y) = dimX + dimY - dim(X \cap Y) = 2 + 2 - 1 = 3}\)

Tylko jak teraz postępować, żeby uzyskać bazę?

[BettyBoo]

Jedna możliwość jest taka jak piszesz - z baz przestrzeni X i Y wybrać dowolne 3 liniowo niezależne wektory - np trzy ostatnie (z tych 4, które wypisałeś)

Tutaj jest również inna możliwość - skoro wymiar jest równy 3, to \(\displaystyle{ X+Y=R^3}\), a więc możesz równie dobrze wziąć np bazę kanoniczną z \(\displaystyle{ R^3}\).

Pozdrawiam

[Browning0]

Hmm, czy mógłby ktoś powiedzieć jak "matematycznie" dojść do baz X i Y zaproponowanych przez Wilkołaka? Bo widać że te bazy są poprawne, ale co kiedy będziemy mieli jakieś trudniejsze warunki i nie da się tak po prostu tych baz zauważyć?

I czy poprawnymi bazami X i Y będą np.

\(\displaystyle{ X=\mathcal{L}\left( \begin{bmatrix}1\\1\\-2 \end{bmatrix}\right) \\ Y = \mathcal{L}\left( \begin{bmatrix}1\\1\\0 \end{bmatrix}\right)}\)

Pozdrawiam

[BettyBoo]

I czy poprawnymi bazami X i Y będą np.

\(\displaystyle{ X=\mathcal{L}\left( \begin{bmatrix}1\\1\\-2 \end{bmatrix}\right) \\ Y = \mathcal{L}\left( \begin{bmatrix}1\\1\\0 \end{bmatrix}\right)}\)

Pozdrawiam

Nie. Jak uzyskałeś takie wektory bazowe?

Pozdrawiam.

[Browning0]

No bo w pierwszym \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}=0}\), a w drugim \(\displaystyle{ x_{3}=0}\). Przepraszam jeżeli jakieś głupoty piszę, ale słaby jestem w te klocki...