Macierz odwrotna, niewiadoma X

[madaf007]

Niech

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}1&-1\\3&-3\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ B=\left[\begin{array}{cc}2&0\\4&1\end{array}\right]}\)

Oblicz \(\displaystyle{ A^{-1}, (A+B)^{2}}\) oraz macierz X taką, że \(\displaystyle{ (X^{-1}A)^{-1}=B}\). Dlaczego taka macierz X istnieje?

interesuje mnie ta część z X. Czy ja mogę to zrobić tak:
\(\displaystyle{ (X^{-1}A)^{-1}=A^{-1}(X^{-1})^{-1}}\)
\(\displaystyle{ A^{-1}X=B}\)
\(\displaystyle{ A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}x_1&x_2\\x_3&x_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2&0\\4&1\end{array}\right]}\)

I teraz:
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}x_1+\frac{1}{2}x_3=2}\)
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}x_2+\frac{1}{2}x_4=0}\)
\(\displaystyle{ -\frac{3}{2}x_1+\frac{1}{2}x_3=4}\)
\(\displaystyle{ -\frac{3}{2}x_2+\frac{1}{2}x_3=1}\)
\(\displaystyle{ X=\left[\begin{array}{cc}-2&-\frac{1}{2}\\2&-\frac{1}{2}\end{array}\right]}\)

Czy to rozwiązanie jest jak najbardziej możliwe? Czy jest może jakiś inny szybszy sposób?I dlaczego taka macierz X istnieje?

[wbb]

Bardzo łatwo możesz to sprawdzić sam. Policz lewą stronę równania i zobacz czy wyjdzie \(\displaystyle{ B}\).

[madaf007]

Bardzo łatwo możesz to sprawdzić sam. Policz lewą stronę równania i zobacz czy wyjdzie \(\displaystyle{ B}\).

No fakt;] dzięki, wychodzi poza \(\displaystyle{ x_4}\) ale pewnie gdzieś po drodzę się pomyliłem. Reszta iksów w porządku. A co z tym pytaniem dlaczego taka macierz X istnieje?

[wbb]

Chyba chodzi tutaj o warunek odwracalności macierzy (we wzorze mamy \(\displaystyle{ X ^{-1}}\)). Istnieje, bo \(\displaystyle{ detA \neq 0}\).