podprzestrzen przestrzeni

[niusia88]

Zbadac czy zbior funkcji a) nieparzystych b) parzystych jest podprzestrzenia przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ R^{R}}\)

Czy dobrze to rozumie??

Warunek na podprzestrzen : ka+a' \(\displaystyle{ \in}\) \(\displaystyle{ R^{R}}\)

a)
nieparzystosc f(-x,-y,....)=-f(x,y,.....)

f(k(-x_1,-x_2.....) + (-y_1,-y_2......) )= kf(-x_1,-x_2...) + f(-y_1,-y_2....)= -kf(x_1,x_2....) - f(y_1,y_2....)

a z def przestrzeni liniowej mamy ze dla f(kx)=kf(x)
wiec jesli wezmiemy za k= -1 wtedy dowod ze jest podprzestrzenia

b)
parzystosc f(-x,y,....)=f(x,.....)

i wtedy nie jest podprzestrzenia.

[pipolka]

Niech \(\displaystyle{ X}\) oznacza zbiór funkcji nieparzystych. Aby pokazać, że \(\displaystyle{ X}\) jest podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{\mathbb{R}}}\), trzeba pokazać, że dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ a,b\in\mathbb{R}}\) oraz dowolnych funkcji \(\displaystyle{ f,g\in X}\) funkcja \(\displaystyle{ af+bg\in X}\). To znaczy trzeba pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ af+bg}\) jest nieparzysta ale to wynika z równości \(\displaystyle{ (af+bg)(-x)=af(-x)+bg(-x)=-af(x)-bg(x)=-(af+bg)(x)}\)
czyli \(\displaystyle{ X}\) jest podprzestrzenią liniową.