Sprawdź czy para jest grupą

rubik1990 · Post autor: **rubik1990** » 18 lis 2009, o 18:47

\(\displaystyle{ (\mathbb{Z}_{5},*)}\), gdzie \(\displaystyle{ x*y:=(2x+y)mod5}\)

Oczywiste jest, że każdy wynik tego działania będzie należał do zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{5}}\).
Teraz chciałbym pokazać, że działanie jest łączne, czyli liczę dla dowolnego \(\displaystyle{ a,b,c}\)

\(\displaystyle{ a*(b*c)=a*(2b+_{5}c)=2a+_{5}2b+_{5}+c}\)
\(\displaystyle{ (a*b)*c=(2a+_{5}b)*c=4a+_{5}2b+_{5}c}\)

Nie wiem czy mogę robić takie przejścia jak robiłem? Jeżeli tak można to czy te wyniki są równoważne, bo to że to inaczej wygląda to może chyba dawać taką samą resztę? Proszę o wskazówki i ewentualne wyjaśnienie błędów.

klaustrofob · Post autor: **klaustrofob** » 18 lis 2009, o 18:58

a=1, b=c=0.

rubik1990 · Post autor: **rubik1990** » 18 lis 2009, o 19:07

Nie wiem co ma oznaczać Twój post? To ma być przykład na to, że to nie jest prawda? W zasadzie, że to nie będzie równe to się już domyśliłem, ale czy samo przekształcenie jest poprawne?

klaustrofob · Post autor: **klaustrofob** » 18 lis 2009, o 19:32

tak, poprawne - to są własności kongruencji. wszystko modulo 5.