Układ równań i wzory Cramera

[zaxer]

Mam rozwiązać układ równań stosując wzory Cramera. Obrazowo układ wygląda tak:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 4x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0 \\ 4x_{1} - x_{2} - x_{3} + x_{4} = 0 \\ 4x_{1} + 4x_{2} + x_{3} - x_{4} = 0 \\ 4x_{1} + x_{2} - 4x_{3} - x_{4} = 1 \end{cases}}\)

No wszystko fajnie, teraz buduję z tego macierz:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 4&1&1&1 \left| 0 \\ 4&-1&-1&1 \left| 0 \\ 4&4&1&-1 \left| 0 \\ 4&1&-4&-1 \left| 1 \end{bmatrix}}\)

I nie wiem co dalej. Byłem już tutaj: post489306.htm ale ten przykład macierzy nie chce się wyzerować wg. podanych tam wzorów, mam na myśli: \(\displaystyle{ W_{2}-W_{1}, W_{3}-W_{1}, W_{4}-3W_{1} = ...}\) oraz \(\displaystyle{ W_{3}+2W_{2}, W_{4}+W_{2} = ...}\)

Wiem, że muszę przeprowadzić trzy etapy: sprowadzenie tego układu równania do macierzy, następnie eliminacja Gaussa (i z tym mam właśnie duży problem), następnie wzory Cramera i na tym koniec ( ? ). Z góry dzięki

[wbb]

Liczysz wyznacznik główny \(\displaystyle{ W}\). Jeśli jest różny od \(\displaystyle{ 0}\), to możesz korzystać ze wzorów Cramera. Potem liczysz \(\displaystyle{ W _{x _{1} }}\), \(\displaystyle{ W _{x _{2} }}\), \(\displaystyle{ W _{x _{3} }}\), \(\displaystyle{ W _{x _{4} }}\).

\(\displaystyle{ x _{1}= \frac{W _{x _{1} }}{W}}\), itd.

[zaxer]

...

[wbb]

Piszą, że masz użyć wzorów Cramera, więc metodę Gaussa zostaw w spokoju, to jest inny sposób rozwiązywania układów równań liniowych.

ten przykład macierzy nie chce się wyzerować wg. podanych wzorów, mam na myśli: \(\displaystyle{ W_{2}-W_{1}, W_{3}-W_{1}, W_{4}-3W_{1} = ...}\) oraz \(\displaystyle{ W_{3}+2W_{2}, W_{4}+W_{2} = ...}\)

A tutaj to w ogóle nie wiem, o co Ci chodzi... Weź jakąś książkę, w której jest napisane o wzorach Cramera (np. Krysickiego) i poczytaj, są też przykłady zadań. To jest naprawdę proste.

[zaxer]

A jak obliczyć wskaźnik IV stopnia

\(\displaystyle{ det \begin{bmatrix} 4&1&1&1 \\ 4&-1&-1&1 \\ 4&4&1&-1 \\ 4&1&-4&-1 \end{bmatrix}}\)

który nie posiada zera? Wg. którego elementu mam rozpocząć obliczenia?

[Mariusz M]

A jak obliczyć wskaźnik IV stopnia

\(\displaystyle{ \det \begin{bmatrix} 4&1&1&1 \\ 4&-1&-1&1 \\ 4&4&1&-1 \\ 4&1&-4&-1 \end{bmatrix}}\)

który nie posiada zera? Wg. którego elementu mam rozpocząć obliczenia?

Użyj rozkładu LU do obliczenia wyznacznika

\(\displaystyle{ \det \begin{bmatrix} 4&1&1&1 \\ 4&-1&-1&1 \\ 4&4&1&-1 \\ 4&1&-4&-1 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \det \begin{bmatrix} 4&1&1&1 \\ 1&-1&-1&1 \\ 1&4&1&-1 \\ 1&1&-4&-1 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \det \begin{bmatrix} 4&1&1&1 \\ 1&-2&-2&0 \\ 1&3&0&-2 \\ 1&0&-5&-2 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \det \begin{bmatrix} 4&1&1&1 \\ 1&3&0&-2 \\ 1&-2&-2&0 \\ 1&0&-5&-2 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \det \begin{bmatrix} 4&1&1&1 \\ 1&3&0&-2 \\ 1&- \frac{2}{3} &-2&0 \\ 1&0&-5&-2 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \det \begin{bmatrix} 4&1&1&1 \\ 1&3&0&-2 \\ 1&- \frac{2}{3} &-2&- \frac{4}{3} \\ 1&0&-5&-2 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \det \begin{bmatrix} 4&1&1&1 \\ 1&3&0&-2 \\ 1&0&-5&-2\\ 1&- \frac{2}{3} &-2&- \frac{4}{3} \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \det \begin{bmatrix} 4&1&1&1 \\ 1&3&0&-2 \\ 1&0&-5&-2\\ 1&- \frac{2}{3} & \frac{2}{5} &- \frac{4}{3} \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \det \begin{bmatrix} 4&1&1&1 \\ 1&3&0&-2 \\ 1&0&-5&-2\\ 1&- \frac{2}{3} & \frac{2}{5} &- \frac{8}{15} \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ 1 \cdot 32=1 \cdot \det{A}}\)

\(\displaystyle{ \det{A}=32}\)





Pozostałe wyznaczniki będziesz miał trzeciego stopnia

Jeżeli koniecznie chcesz rozwinięciem Laplace to spróbuj względem ostatniej kolumny

[zaxer]

czyli wbb się mylił pisząc, że nie muszę tutaj zastosować eliminacji Gaussa?
Wiec muszę użyć na tym etapie zadania albo tzw. rozkład LU=PA albo eliminację Gaussa, dobrze mówię?

[Mariusz M]

czyli wbb się mylił pisząc, że nie muszę tutaj zastosować eliminacji Gaussa?
Wiec muszę użyć na tym etapie zadania albo tzw. rozkład LU=PA albo eliminację Gaussa, dobrze mówię?

Możesz użyć eliminacji Gaussa lub rozkładu LU ale tylko do obliczenia wyznacznika
Nie możesz natomiast rozwiązać układu równań za pomocą tych metod ponieważ
byłoby to sprzeczne z treścią zadania

Musieć nie musisz możesz

Pamiętaj aby eliminacji Gaussa lub rozkładu LU=PA
użyć tylko do obliczenia wyznacznika

Oczywiście jeżeli chcesz możesz także skorzystać z
definicji permutacyjnej wyznacznika lub z rozwinięcia Laplace
jednak ja uważam że do obliczenia wyznacznika lepiej
skorzystać z eliminacji Gaussa lub rozkładu LU=PA