wzór Cramera

[bianka7]

Mam problem z rozwiązaniem układu równań liniowych wzorem Cramera:

x + y + z = 4
2x - 3y + 5z = -5
-x + 2y - z = 2

Metodą macierzy odwrotnych wszły mi wyniki x=3, y=2, z=-1 i są na pewno poprawne. Zależy mi na przedstawieniu krok po kroku sposobu rozwiązania wzorem Cramera gdyż mam zadanie domowe, które nie zostało omówione na wykładzie

[barakuda]

w pierwszej kolejności obliczamy wyznacznik macierzy głównej

\(\displaystyle{ detA = \begin{bmatrix}1&1&1\\2&-3&5\\-1&2&-1\end{bmatrix} = 3-5+4-3-10+2=-9}\)

teraz obliczamy wyznaczniki macierzy pomocniczych zastepując kolejno kolumny kolumną składajaca sie z wyników równań

\(\displaystyle{ detA_{x} = \begin{bmatrix}4&1&1\\-5&-3&5\\2&2&-1\end{bmatrix} = 12+10-10+6-40-5=-27}\)

\(\displaystyle{ detA_{y} = \begin{bmatrix}1&4&1\\2&-5&5\\-1&2&-1\end{bmatrix} = 5-20+4-5-10+8=-18}\)

\(\displaystyle{ detA_{z} = \begin{bmatrix}1&1&4\\2&-3&-5\\-1&2&2\end{bmatrix} = -6+5+16-12+10-4=9}\)

\(\displaystyle{ x= \frac{detA_{x}}{detA} = \frac{-27}{-9}=3}\)

\(\displaystyle{ y= \frac{detA_{y}}{detA} = \frac{-18}{-9}=2}\)

\(\displaystyle{ z=\frac{detA_{z}}{detA} = \frac{9}{-9}=-1}\)

[bianka7]

Dziękuję bardzo za szybką i konkretną odpowiedź Teraz wszytsko jest dla mnie jasne

[barakuda]

Dodam tylko że aby układ można było rozwiązać metoda Cramera to \(\displaystyle{ detA \neq 0}\)

[bianka7]

Tak tak oczywiście pamiętam o tym dziękuję jeszcze raz!

[Mariusz M]

Dodam tylko że aby układ można było rozwiązać metoda Cramera to \(\displaystyle{ detA \neq 0}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ \det{A}=0}\) to liczysz rzędy
i jeżeli są równe to parametryzujesz układ równań (sprowadzasz do postaci Cramera)
i rozwiązujesz tak jak układ Cramera

Układ równań liniowych jest w postaci Cramera wtedy i tylko wtedy gdy
macierz główna układu jest kwadratowa i nieosobliwa