addytywność nie implikuje liniowości odwzorowania - dowód

[sallywanka]

Witam serdecznie,

Nie potrafię dowieść, że addytywność nie implikuje liniowości odwzorowania.
Wystarczy podać jeden przykład na to, jednak nie potrafię sobie z tym poradzić.

Z góry dziękuję za pomoc!

[Qń]

W tym wątku:
https://matematyka.pl/53385.htm
można znaleźć (mniej więcej pośrodku) dowód (niekonstruktywny) istnienia continuum funkcji rzeczywistych, które są addytywne, ale nie są liniowe.

Q.

[sallywanka]

Przejrzałam cały wątek i jest to dla mnie trochę zbyt zaawansowana matematyka, dlatego dla pewności zapytam, czy chodzi o ten fragment wątku:

Ok, funkcję \(\displaystyle{ g}\) konstruuje się tak:

Rozpatrzmy zbiór liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) jako przestrzeń liniową nad ciałem liczb wymiernych \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) (to znaczy liczby rzeczywiste są wektorami, a wymierne skalarami). Z lematu Kuratowskiego-Zorna (albo jak kto woli: z pewnika wyboru) wynika, że każda przestrzeń liniowa ma bazę (zwaną czasem w przypadku nieskończonym bazą Hamela), w szczególności więc takąż bazę (nieprzeliczalną) - nazwijmy ją \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) - posiada w/w przestrzeń. Oznacza to, że każda liczba rzeczywista przedstawia się jako liniowa kombinacja skończonej ilości elementów \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\), to znaczy dla każdego \(\displaystyle{ r \in \mathbb{R}}\) mamy:
\(\displaystyle{ r = \sum_{\alpha} c_{\alpha} b_{\alpha}}\), gdzie \(\displaystyle{ c_{\alpha} \in \mathbb{Q}}\), \(\displaystyle{ b_{\alpha} \in \mathcal{B}}\) oraz \(\displaystyle{ c_{\alpha} \neq 0}\) tylko dla skończenie wielu \(\displaystyle{ \alpha}\).

Bez utraty ogólności możemy przyjąć, że w bazie znajduje się jakaś niezerowa liczba wymierna (dlaczego? - pozostawiam jako ćwiczenie ), nazwijmy ją \(\displaystyle{ q}\)

Funkcję \(\displaystyle{ g}\) możemy więc zdefiniować następująco:
-\(\displaystyle{ g(q) = 0}\);
- dla pozostałych \(\displaystyle{ b \in \mathcal{B}}\) \(\displaystyle{ g(b)}\) określamy dowolnie;
- dla dowolnego \(\displaystyle{ x = \sum_{\alpha} c_{\alpha} b_{\alpha}}\) kładziemy \(\displaystyle{ g(x) = \sum_{\alpha} c_{\alpha} g(b_{\alpha})}\).

Łatwo sprawdzić, że tak określona funkcja spełnia warunki zadania (trzeba tylko dowieść, że wynika z nich, iż dla\(\displaystyle{ p \in \mathbb{Q}}\) mamy \(\displaystyle{ g(px) = pg(x)}\), co jest łatwe).

Ostrzegałem, że to wyższa matematyka, żeby nie było .

Pozdrawiam.
Qń.

?

[Qń]

Tak, ten właśnie fragment miałem na myśli.

Q.

[Zordon]

Zastanawiam się, czy bez aksjomatu wyboru też można wykazać istnienie takich funkcji...

[sallywanka]

Dziękuję bardzo.

Teraz tylko muszę się z tym oswoić.

[Qń]

Wymyśliłem prostszy przykład. \(\displaystyle{ f : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}}\), \(\displaystyle{ f(z) = Re z}\).
Tak określona funkcja oczywiście jest addytywna, bo \(\displaystyle{ Re (z_1+z_2) = Rez_1+Rez_2}\), ale nie jest jednorodna, bo \(\displaystyle{ f(iz) \neq if(z)}\).

Q.

[sallywanka]

No tak, ten wygląda przyjaźniej.
Dzięki.

[chingiale]

Aksjomat jest potrzebny do istnienia bazy (ogólnie tw o istnieniu bazy jest z nim równoważne).
Fakt nie jest taki trywialny, bo
\(\displaystyle{ G(q)=0, q \in \mathbb{Q}, G(x)=x, x \in\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}}\)
nie jest addytywna.
Suma liczb niewymiernych \(\displaystyle{ x,y}\)jest liczbą wymierną wtw, gdy
\(\displaystyle{ x=p+a\\
y=q-a}\)
dla pewnej liczby niewymiernej \(\displaystyle{ a}\) i liczb wymiernych \(\displaystyle{ p,q}\).
Wtedy \(\displaystyle{ f(x+y)=f(p+q)=0 \wedge f(x+y)= f(x)+f(y)=x+y=p+q \neq 0}\) dla \(\displaystyle{ p \neq - q}\).

Swoją drogą tutaj przedstawiam, jak z addytywności wynika liniowość nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\)
\(\displaystyle{ f \text{addytywna}, p,q \in \mathbb{N} \setminus {0} \\
\Rightarrow \Right[ f(px)=pf(x), \\
f(q\cdot \frac{1}{q} x)=q f( \frac{1}{q} x) \Left]\\
\Rightarrow f(\frac{p}{q} x)=\frac{p}{q} f(x)}\)