Sprawdzic, że nastepujące zbiory są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni \(\displaystyle{ R^{4}}\). Wyznaczyć bazy i wymiary tych przestrzeni.
\(\displaystyle{ X=(v \in R^{4}; v= \left| x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} \right|, x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0 )
X=(v \in R^{4}; v= \left| x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} \right|, x_{1}+x_{2}+x_{3}=0, x_{1}+2 \cdot x_{2}+x_{4} =0)}\)
za pomoc byłbym bardzo wdzięczny, wykład byl nie zrozumiały i praktycznie wszyscy z grupy z ktorymi mam kontakt nie rozumieją tego
przestrzenie wektorowe, bazy i ich ilosc(wymiary)
-
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 9 maja 2007, o 19:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: legnica
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 3 razy
przestrzenie wektorowe, bazy i ich ilosc(wymiary)
Ostatnio zmieniony 17 lis 2009, o 23:14 przez Zordon, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
-
- Użytkownik
- Posty: 476
- Rejestracja: 20 cze 2008, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 93 razy
przestrzenie wektorowe, bazy i ich ilosc(wymiary)
(1) Aby sprawdzić, czy \(\displaystyle{ X}\) jest podprzestrzenią liniową należy sprawdzić, czy jest zamknięta na branie kombinacji liniowych wektorów.
Czyli dla każdego \(\displaystyle{ \alpha \in R, x \in X, \alpha x \in X}\), oraz
dla każdych \(\displaystyle{ x, y \in X, x + y \in X}\).
To nie powinno być trudne.
Dla wyznaczenia bazy wystarczy znaleźć maksymalną ilość liniowo niezależnych wektorów w \(\displaystyle{ X}\).
Na przykład bazą \(\displaystyle{ X}\) jest zbiór \(\displaystyle{ \lbrace (1, -1, 0, 0), (-1, 0 , 1, 0), (1, 0, 0, -1) \rbrace}\)
Wymiar przestrzeni to moc bazy, więc w tym wypadku \(\displaystyle{ X}\) jest trójwymiarowa.
(2) \(\displaystyle{ X}\) nie jest przestrzenią liniową, bo dla wektor
\(\displaystyle{ (-1, 1, 0, -1)}\) należy do \(\displaystyle{ X}\), ale
\(\displaystyle{ 2 \cdot (-1, 1, 0, -1)}\) nie należy do \(\displaystyle{ X}\), bo
\(\displaystyle{ -2 + 2 - 1 = -1 \neq 0}\).
Czyli dla każdego \(\displaystyle{ \alpha \in R, x \in X, \alpha x \in X}\), oraz
dla każdych \(\displaystyle{ x, y \in X, x + y \in X}\).
To nie powinno być trudne.
Dla wyznaczenia bazy wystarczy znaleźć maksymalną ilość liniowo niezależnych wektorów w \(\displaystyle{ X}\).
Na przykład bazą \(\displaystyle{ X}\) jest zbiór \(\displaystyle{ \lbrace (1, -1, 0, 0), (-1, 0 , 1, 0), (1, 0, 0, -1) \rbrace}\)
Wymiar przestrzeni to moc bazy, więc w tym wypadku \(\displaystyle{ X}\) jest trójwymiarowa.
(2) \(\displaystyle{ X}\) nie jest przestrzenią liniową, bo dla wektor
\(\displaystyle{ (-1, 1, 0, -1)}\) należy do \(\displaystyle{ X}\), ale
\(\displaystyle{ 2 \cdot (-1, 1, 0, -1)}\) nie należy do \(\displaystyle{ X}\), bo
\(\displaystyle{ -2 + 2 - 1 = -1 \neq 0}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 9 maja 2007, o 19:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: legnica
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 3 razy
przestrzenie wektorowe, bazy i ich ilosc(wymiary)
na moje zle
na wersji en wiki jest napisane ze zeby cos bylo podprzestrzenia to musi byc
A)tak ze alfa*wektor(z podprzestrzeni)=wektor2 nalezacy do tej samej podprzestrzeni
B)wektor1+wektor2=wektor3(wszystkie 3 z podprzestrzeni)
ale pojawia sie pytanie
np jak mam w 1 przykladzie
x1+x2+x3+x4=0
to na moje beda 3 bazy bo jak mam 3 zmienne podane to 4 juz dziki nim wyznacze
ale to na moje
czy dobrze myslę?
na wersji en wiki jest napisane ze zeby cos bylo podprzestrzenia to musi byc
A)tak ze alfa*wektor(z podprzestrzeni)=wektor2 nalezacy do tej samej podprzestrzeni
B)wektor1+wektor2=wektor3(wszystkie 3 z podprzestrzeni)
ale pojawia sie pytanie
np jak mam w 1 przykladzie
x1+x2+x3+x4=0
to na moje beda 3 bazy bo jak mam 3 zmienne podane to 4 juz dziki nim wyznacze
ale to na moje
czy dobrze myslę?
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
przestrzenie wektorowe, bazy i ich ilosc(wymiary)
Sprawdź jeszcze raz.Tomasz Tkaczyk pisze:(2) \(\displaystyle{ X}\) nie jest przestrzenią liniową, bo dla wektor
\(\displaystyle{ (-1, 1, 0, -1)}\) należy do \(\displaystyle{ X}\), ale
\(\displaystyle{ 2 \cdot (-1, 1, 0, -1)}\) nie należy do \(\displaystyle{ X}\), bo
\(\displaystyle{ -2 + 2 - 1 = -1 \neq 0}\).
Zbiór rozwiązań układu równań \(\displaystyle{ A\vec{x}=\vec{0}}\) zawsze jest podprzestrzenią liniową stosownej przestrzeni.
Q.