przestrzenie wektorowe, bazy i ich ilosc(wymiary)

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
kisiello
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 9 maja 2007, o 19:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: legnica
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 3 razy

przestrzenie wektorowe, bazy i ich ilosc(wymiary)

Post autor: kisiello »

Sprawdzic, że nastepujące zbiory są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni \(\displaystyle{ R^{4}}\). Wyznaczyć bazy i wymiary tych przestrzeni.

\(\displaystyle{ X=(v \in R^{4}; v= \left| x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} \right|, x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0 )

X=(v \in R^{4}; v= \left| x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} \right|, x_{1}+x_{2}+x_{3}=0, x_{1}+2 \cdot x_{2}+x_{4} =0)}\)


za pomoc byłbym bardzo wdzięczny, wykład byl nie zrozumiały i praktycznie wszyscy z grupy z ktorymi mam kontakt nie rozumieją tego
Ostatnio zmieniony 17 lis 2009, o 23:14 przez Zordon, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Tomasz Tkaczyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 476
Rejestracja: 20 cze 2008, o 21:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 93 razy

przestrzenie wektorowe, bazy i ich ilosc(wymiary)

Post autor: Tomasz Tkaczyk »

(1) Aby sprawdzić, czy \(\displaystyle{ X}\) jest podprzestrzenią liniową należy sprawdzić, czy jest zamknięta na branie kombinacji liniowych wektorów.

Czyli dla każdego \(\displaystyle{ \alpha \in R, x \in X, \alpha x \in X}\), oraz
dla każdych \(\displaystyle{ x, y \in X, x + y \in X}\).

To nie powinno być trudne.

Dla wyznaczenia bazy wystarczy znaleźć maksymalną ilość liniowo niezależnych wektorów w \(\displaystyle{ X}\).

Na przykład bazą \(\displaystyle{ X}\) jest zbiór \(\displaystyle{ \lbrace (1, -1, 0, 0), (-1, 0 , 1, 0), (1, 0, 0, -1) \rbrace}\)

Wymiar przestrzeni to moc bazy, więc w tym wypadku \(\displaystyle{ X}\) jest trójwymiarowa.

(2) \(\displaystyle{ X}\) nie jest przestrzenią liniową, bo dla wektor

\(\displaystyle{ (-1, 1, 0, -1)}\) należy do \(\displaystyle{ X}\), ale

\(\displaystyle{ 2 \cdot (-1, 1, 0, -1)}\) nie należy do \(\displaystyle{ X}\), bo

\(\displaystyle{ -2 + 2 - 1 = -1 \neq 0}\).
kisiello
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 9 maja 2007, o 19:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: legnica
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 3 razy

przestrzenie wektorowe, bazy i ich ilosc(wymiary)

Post autor: kisiello »

na moje zle
na wersji en wiki jest napisane ze zeby cos bylo podprzestrzenia to musi byc
A)tak ze alfa*wektor(z podprzestrzeni)=wektor2 nalezacy do tej samej podprzestrzeni
B)wektor1+wektor2=wektor3(wszystkie 3 z podprzestrzeni)

ale pojawia sie pytanie
np jak mam w 1 przykladzie
x1+x2+x3+x4=0
to na moje beda 3 bazy bo jak mam 3 zmienne podane to 4 juz dziki nim wyznacze
ale to na moje
czy dobrze myslę?
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

przestrzenie wektorowe, bazy i ich ilosc(wymiary)

Post autor: »

Tomasz Tkaczyk pisze:(2) \(\displaystyle{ X}\) nie jest przestrzenią liniową, bo dla wektor
\(\displaystyle{ (-1, 1, 0, -1)}\) należy do \(\displaystyle{ X}\), ale
\(\displaystyle{ 2 \cdot (-1, 1, 0, -1)}\) nie należy do \(\displaystyle{ X}\), bo
\(\displaystyle{ -2 + 2 - 1 = -1 \neq 0}\).
Sprawdź jeszcze raz.

Zbiór rozwiązań układu równań \(\displaystyle{ A\vec{x}=\vec{0}}\) zawsze jest podprzestrzenią liniową stosownej przestrzeni.

Q.
ODPOWIEDZ