Przedstawienie macierzy

[czeslaw]

Pokazać, że każdą macierz kwadratową można przedstawić w jednoznaczny sposób w postaci macierzy symetrycznej i antysymetrycznej.
Oczywiście, mamy:
\(\displaystyle{ A = \frac{A_{T}+A}{2} - \frac{A_{T}-A}{2}}\)
Ale chodzi o dowód, że nie ma innego tego typu przedstawienia.

[BettyBoo]

Jednoznaczność: załóżmy, że mamy dwa zapisy

\(\displaystyle{ A=B+C=D+E\ \Rightarrow \ B-D=E-C}\)

Różnica macierzy (anty)symetrycznych jest (anty)symetryczna, a jedyną macierzą, która jest równocześnie symetryczna i antysymetryczna jest macierz zerowa (tak jest w R lub C, ALE nie np w \(\displaystyle{ Z_2}\)).

Pozdrawiam.

[Zordon]

Chodzi o przedstawienie w postaci sumy macierzy symetrycznej i antysymetrycznej, tak?
No to załóżmy, że są dwa przedstawienia: \(\displaystyle{ A=S_1+A_1=S_2+A_2}\), \(\displaystyle{ S_i}\) symetryczne \(\displaystyle{ A_i}\) antysymetryczne.
\(\displaystyle{ S_1+A_1=S_2+A_2}\)
\(\displaystyle{ S_1-S_2=A_2-A_1}\)
Każdy się zgodzi, że po lewej mamy macierz symetryczną, a po prawej antysymetryczną, a jaka jest macierz jednocześnie symetryczna i antysymetryczna?