Mam zbadać czy dowolne trzy ciągi arytmetyczne są niezależne liniowo. Wiem jak to zrobić dla układu wektorów, ale dla ciągów wygląda mi to obco, nie wiem jak się za to zabrać.
Z wektorami np. było tak:
\(\displaystyle{ \alpha_1 \cdot \left[\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right] + \alpha_2 \cdot .... = \left[\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right]}\)
jeśli to implikowało, że \(\displaystyle{ \alpha_1 = ... = \alpha_n = 0}\) to układ wektorów był niezależny liniowo. Oczywiście dochodziło się do tego poprzez rozwiązanie układu równań itd.
Jak to samo zapisać dla ciągów arytmetycznych?
Niezależność liniowa ciągów arytmetycznych
- klaustrofob
- Użytkownik
- Posty: 1984
- Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: inowrocław
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 607 razy
Niezależność liniowa ciągów arytmetycznych
ciągi to "nieskończone" wektory: (1,2,3,...) <- arytmetyczny o a1=1 i r=1. (3,1,-1,-3...) <- arytmetyczny o a1=3 i r=-2. itd.. dodajemy je standardowo, "po współrzędnych". intuicja: ciąg arytmetyczny jest wyznaczony przez a1 i r - można by więc utożsamiać je z wektorami dwuwymiarowymi. czyli trzy ciągi powinny być liniowo zależne. dowód:
(a, a+r, a+2r, ...) - jeden ciąg
(b, b+R, b+2R...) - drugi
(c, c+p, c+2p,...) - trzeci
rozważmy wektory: [a, a+r], [b, b+R], [c, c+p]. są one liniowo zależne, czyli jeden z nich jest k. lin. pozostałych. niech będzie to wektor [c, c+p]. czyli c=xa+yb, c+p=x(a+r)+y(b+R). odejmując stronami: p=xr+yR. wtedy oczywiście 2p=x(2r)+y(2R) itd., a stąd wynika, że (c, c+p, c+2p,...) = x(a, a+r, a+2r,...) + y(b, b+R, b+2R,...)
(a, a+r, a+2r, ...) - jeden ciąg
(b, b+R, b+2R...) - drugi
(c, c+p, c+2p,...) - trzeci
rozważmy wektory: [a, a+r], [b, b+R], [c, c+p]. są one liniowo zależne, czyli jeden z nich jest k. lin. pozostałych. niech będzie to wektor [c, c+p]. czyli c=xa+yb, c+p=x(a+r)+y(b+R). odejmując stronami: p=xr+yR. wtedy oczywiście 2p=x(2r)+y(2R) itd., a stąd wynika, że (c, c+p, c+2p,...) = x(a, a+r, a+2r,...) + y(b, b+R, b+2R,...)