Niezależność liniowa ciągów arytmetycznych

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Wilkołak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 256
Rejestracja: 24 mar 2007, o 14:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łomża / Warszawa
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 46 razy

Niezależność liniowa ciągów arytmetycznych

Post autor: Wilkołak »

Mam zbadać czy dowolne trzy ciągi arytmetyczne są niezależne liniowo. Wiem jak to zrobić dla układu wektorów, ale dla ciągów wygląda mi to obco, nie wiem jak się za to zabrać.

Z wektorami np. było tak:

\(\displaystyle{ \alpha_1 \cdot \left[\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right] + \alpha_2 \cdot .... = \left[\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right]}\)
jeśli to implikowało, że \(\displaystyle{ \alpha_1 = ... = \alpha_n = 0}\) to układ wektorów był niezależny liniowo. Oczywiście dochodziło się do tego poprzez rozwiązanie układu równań itd.

Jak to samo zapisać dla ciągów arytmetycznych?
Awatar użytkownika
klaustrofob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1984
Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inowrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 607 razy

Niezależność liniowa ciągów arytmetycznych

Post autor: klaustrofob »

ciągi to "nieskończone" wektory: (1,2,3,...) <- arytmetyczny o a1=1 i r=1. (3,1,-1,-3...) <- arytmetyczny o a1=3 i r=-2. itd.. dodajemy je standardowo, "po współrzędnych". intuicja: ciąg arytmetyczny jest wyznaczony przez a1 i r - można by więc utożsamiać je z wektorami dwuwymiarowymi. czyli trzy ciągi powinny być liniowo zależne. dowód:

(a, a+r, a+2r, ...) - jeden ciąg
(b, b+R, b+2R...) - drugi
(c, c+p, c+2p,...) - trzeci

rozważmy wektory: [a, a+r], [b, b+R], [c, c+p]. są one liniowo zależne, czyli jeden z nich jest k. lin. pozostałych. niech będzie to wektor [c, c+p]. czyli c=xa+yb, c+p=x(a+r)+y(b+R). odejmując stronami: p=xr+yR. wtedy oczywiście 2p=x(2r)+y(2R) itd., a stąd wynika, że (c, c+p, c+2p,...) = x(a, a+r, a+2r,...) + y(b, b+R, b+2R,...)
ODPOWIEDZ