Wyznacz jądro, obraz przekształcenia liniowego

igotfeeling · Post autor: **igotfeeling** » 15 lis 2009, o 18:41

Wyznaczyć jądro, obraz i ich bazy dla przekształcenia liniowego
\(\displaystyle{ \phi: R^3 \rightarrow R[x]_3}\)

\(\displaystyle{ \phi((a,b,c)) =(a+c)x^3 +(b-c)x +a+b}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a+c=0 \\ b-c=0 \\a+b=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ ker\phi =\{ (a,-a,-a): a\in R \} =Lin((1;-1;-1))}\)

Jak znaleźć obraz??

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 15 lis 2009, o 21:58

Najłatwiej to zrobić pisząc macierz przekształcenia (albo przynajmniej obrazy wektorów bazy kanonicznej). W obu bazach kanonicznych macierz ma postać

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0 & 1\\ 0&0&0\\ 0&1&-1\\ 1&1&0\end{bmatrix}}\)

Obraz jest powłoką liniową rozpartą na kolumnach tej macierzy. Ponieważ wymiar jądra jest 1, to wymiar obrazu jest 2 (bo dziedzina ma wymiar 3). Wystarczy więc wybrać dowolne dwa (liniowo niezależne) z podanych 3 wektorów i to będzie baza obrazu.

Pozdrawiam.

igotfeeling · Post autor: **igotfeeling** » 16 lis 2009, o 21:27

Dzięki postowi z tematu o bazie wiem jak powstała ta macierz
Skąd wiesz że wymiar jądra jest 1?
Jak sprawdzić w miarę szybko liniową niezależność wektorów? (rozumiem że wektor to kolumna)

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 16 lis 2009, o 21:43

igotfeeling pisze:Skąd wiesz że wymiar jądra jest 1?

Ponieważ, jak sam pokazałeś, jądro jest powłoką liniową rozpartą na 1 (niezerowym) wektorze, a więc może on stanowić bazę, zatem wymiar jest równy 1.

igotfeeling pisze: Jak sprawdzić w miarę szybko liniową niezależność wektorów? (rozumiem że wektor to kolumna)

W przypadku dwóch wektorów sprawa jest oczywista - są one liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy mają nieproporcjonalne współrzędne.

W przypadku większej ilości wektorów zamiast rozwiązywać układ równań, obliczasz rząd macierzy, która jest z tych wektorów zrobiona (np są one jej kolumnami lub wierszami). Jeśli ten rząd jest równy ilości wektorów to są one liniowo niezależne (to jest wniosek z tw Kroneckera-Capellego). Jeśli macierz zrobiona z tych wektorów jest kwadratowa, to zamiast rzędu możesz obliczyć wyznacznik - jeśli jest niezerowy, to wektory są liniowo niezależne (to wynika z definicji rzędu).

Pozdrawiam.

igotfeeling · Post autor: **igotfeeling** » 16 lis 2009, o 21:53

Aha bo widzisz z tym jądrem to myślałem że Ty to wszystko widziałaś z tej macierzy bez pisania tego układu równań z pierwszego postu i liczenia bazy jądra.

Rzędu macierzy jeszcze nie miałem.
Czyli w zasadzie zabawa z tą macierzą wchodzi w gre gdy jest kwadratowa, bo wyznacznik umiem policzyć.