Wykaż że jest to baza

[igotfeeling]

Wykaż że \(\displaystyle{ A=(x^2 +x -1, x^2 -2x. x-2)}\) to baza \(\displaystyle{ R[x]_2}\)

Domyślam się że zadanie jest dość proste ale miałem świra ćwiczeniowca i choć już odpadł to pewnej części materiału dalej nie rozumiem, no ale koneic wymówek
Baza to układ wektorów \(\displaystyle{ B=(v_1, v_2,...,v_k)}\)
układ \(\displaystyle{ (v_1, v_2,...,v_k)}\) musi być liniowo niezależny
Baza musi tworzyć cała przestrzeń - cokolwiek to znaczy
\(\displaystyle{ Lin(v_1, v_2,...,v_k)=V}\)

Liniowa niezależność - to akurat rozumiem
\(\displaystyle{ \alpha_1 (x^2 +x -1) + \alpha_2 (x^2 -2x) + \alpha_3 (x-2)=0}\)
Układ równań i mamy \(\displaystyle{ \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0}\) Ok to wykazałem

Ale ten drugi warunek to nie bardzo widze jak się to pokazuje, nie mam żadnego przykładu.

Coś takiego może?
\(\displaystyle{ A=(x^2 +x -1, x^2 -2x. x-2)=x^2 (1,1,0)+x^1(1,-2,1)+x^0 (-1,0,2)}\)
\(\displaystyle{ Lin((1,1,0),(1,-2,1),(-1,0,2))=R[x]_2}\)

Proszę o łagodny wymiar kary

Jak mi ktoś wytłumaczy jak pokazać że jest to baza to wrzucę dalsza część zadania

[BettyBoo]

Definicji bazy jest kilka. Tutaj najlepiej skorzystać z tego, że znasz wymiar przestrzeni.
Ponieważ ta przestrzeń jest 3-wymiarowa to znaczy, że każda baza ma 3 wektory. Jedynym warunkiem, który trzeba wobec tego sprawdzić jest liniowa niezależność - a to już zrobiłeś.

Zatem masz układ 3 wektorów liniowo niezależnych w przestrzeni 3-wymiarowej. Wniosek: to jest baza.

Pozdrawiam.

[igotfeeling]

Ok, tutaj przestrzeń to wielomiany co najwyżej stopnia drugiego czyli mamy \(\displaystyle{ x^2, x, 1}\), to są te 3 wymiary tak?

Dalsza część zadania:
Znaleźć współrzędne wektora \(\displaystyle{ 5x-5}\) w tej bazie.
\(\displaystyle{ 5x-5=\alpha_1(x^2 +x -1)+\alpha_2( x^2 -2x)+\alpha_3(x-2)}\)
tak wymnażam porównuje współczyniki i mam coś takiego

\(\displaystyle{ 5x-5=(3,-3,-4)_A}\)

z tym sobie poradziłem, dalej:

Znaleźć macierz \(\displaystyle{ M^{A}_{\epsilon} (\phi)}\) jeśli \(\displaystyle{ \phi:R[x]_2 \rightarrow R^2}\)
\(\displaystyle{ \phi(w)=(w'(1),w(0))}\)

ok no to przekształcenie jest takie:
\(\displaystyle{ w=ax^2+bx+c}\)
\(\displaystyle{ w'=2ax+b}\)

to \(\displaystyle{ \phi(w)=(2a+b,c)}\)

Pytanie teraz co dalej?

[BettyBoo]

Zgodnie z definicją macierzy przekształcenia - kolumnami tej macierzy są współrzędne obrazów wektorów bazowych dziedziny w bazie przeciwdziedziny.

Teraz to trochę rozmotam

Ty masz tam jakiś znaczek \(\displaystyle{ \epsilon}\) - nie jest to jakieś standardowe oznaczenie, ale domyślam się, że chodzi o bazę kanoniczną. Bazą kanoniczną w \(\displaystyle{ R^2}\) jest \(\displaystyle{ \epsilon=((1,0), (0,1))}\)

Wobec tego aby znaleźć tą macierz, która Cię interesuje postępujesz tak:

Krok 1 obliczasz \(\displaystyle{ \phi(a_i),\ a_i}\) to kolejne wektory bazy A
Krok 2 szukasz współrzędnych wektorów \(\displaystyle{ \phi(a_i)}\) w bazie przeciwdziedziny.
Krok 3 wpisujesz te współrzędne jako kolejne kolumny do macierzy - i to Twój wynik

Ad Krok 1: zgodnie z otrzymanym przez Ciebie wzorem przekształcenia masz

\(\displaystyle{ \phi(x^2+x+1)=(3,1),\ \phi(x^2-2x)=(0,0), \ \phi(x-2)=(1,-2)}\)

Ad Krok 2: ponieważ baza w \(\displaystyle{ R^2}\) jest kanoniczna, to to co wyżej to już współrzędne wektorów w tej bazie, więc nic nie trzeba robić

Ad Krok 3: \(\displaystyle{ M^{A}_{\epsilon} (\phi) =\begin{bmatrix} 3&0&1\\ 1&0&-2\end{bmatrix}}\)

Pozdrawiam.

[igotfeeling]

Tak, tam w dolnym indeksie M jest epsilon, który wyszedł jakiś mały, ale ogólnie dobrze się domyśliłeś że chodzi o bazę kanoniczną.

Wow chyba to zrozumiałem, aż sam jestem zdziwiony hehe

Tak jakbyśmy chcieli rozpisać drugi krok to by było
\(\displaystyle{ (3,1)=3(1,0)+1(0,1)}\)
\(\displaystyle{ (0,0)=0(1,0)+0(0,1)}\)
\(\displaystyle{ (1,-2)=1(1,0)+(-2)(0,1)}\)

prawda?
Jeszcze raz wielkie dzięki !

[BettyBoo]

Wow chyba to zrozumiałem, aż sam jestem zdziwiony hehe

Gratulacje !

prawda?

Prawda

A gwoli ścisłości - jestem kobietą.

Pozdrawiam.

[igotfeeling]

A gwoli ścisłości - jestem kobietą.

Świetnie - przyjąłem do wiadomości

Zostawiam jeszcze pytanko w tym temacie o jądrze, obrazie i bazach.
Już wiem skąd wzięła się tamta macierz;)