Pokazać, kiedy układ równań jest sprzeczny

[wbb]

Pokazać, że układ równań

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x+y+z=1\\2x+y-z=2\\x-y+3x=0 \end{array}}\) jest sprzeczny w ciele \(\displaystyle{ \mathbb{Z} _{p}}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ p=2}\).

[Qń]

Rozumiem, że trzecie równanie to \(\displaystyle{ x-y+3z=0}\).

Wyznacznik główny tego układu równań jest równy \(\displaystyle{ -4}\). Jeśli \(\displaystyle{ -4 \neq 0}\), to \(\displaystyle{ p \neq 2}\), a dodatkowo \(\displaystyle{ -4}\) i \(\displaystyle{ p}\) są względnie pierwsze, zatem \(\displaystyle{ -4}\) jest odwracalne w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_p}\), więc z wzorów Cramera łatwo dostaniemy, że układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, więc jest niesprzeczny.

Natomiast \(\displaystyle{ -4=0}\) tylko w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_2}\) (i jeszcze w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_4}\), ale ten przypadek nas nie interesuje, bo to nie ciało, tylko pierścień). Ale w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_2}\) ten układ jest równoważny:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x+y+z=1\\y+z=0\\x+y+z=0 \end{array}}\)
więc gołym okiem widać, że jest sprzeczny.

Q.