Permutacje

m45turbo · Post autor: **m45turbo** » 20 maja 2006, o 15:34

Na wstępie chciałem powiedzieć, że mam nadzieję, że to odpowiedni dział;p
Dane są permutacje:
\(\displaystyle{ \sigma=\left(\begin{array}{ccccccccc}1&2&3&4&5&6&7&8&9\\2&8&9&4&3&7&6&1&5\end{array}\right)}\)

\(\displaystyle{ \pi=\left(\begin{array}{ccccccccc}1&2&3&4&5&6&7&8&9\\3&4&5&8&7&9&1&6&2\end{array}\right)}\)

Zbadać ich parzystość. Obliczyć \(\displaystyle{ \sigma\,\circ\,\pi^{-1}}\), \(\displaystyle{ \pi\,\circ\,\sigma}\), \(\displaystyle{ \sigma^{35}}\), \(\displaystyle{ \pi^{-40}}\).

Żeby zbadać parzystość, trzeba permutację rozłożyć na transpozycje. Czy w takim razie \(\displaystyle{ \sigma=(12)(28)(39)(95)(67)}\) (przy założeniu, że dobrze rozkładam na transpozycje) będzie miała pięć transpozycji i będzie nieparzysta, czy też trzeba doliczyć 4 przechodzącą na samą siebie jako szóstą transpozycję?
\(\displaystyle{ \pi=(13)(35)(57)(24)(48)(86)(69)}\) - 7 transopzycji, permutacja jest nieparzysta.
Czy dobrze zrobiłem tę część zadania?

Dalej złożenia permutacji nie sprawiają mi problemu, ale już podnoszenie do potęgi ujemnej można zapisać w następujący sposób: \(\displaystyle{ \pi^{-40}=(1357)^{-40}(24869)^{-40}=(1357)^{0}(24869)^{0}=\left(\begin{array}{ccccccccc}1&2&3&4&5&6&7&8&9\\1&2&3&4&5&6&7&8&9\end{array}\right)}\)?
Za spojrzenie, czy dobrze to robię/wytłumaczenie jak to się robi (parzystość/nieparzystość) z góry dziękuję

mu · Post autor: mu » 21 maja 2006, o 13:39

1) Dobrze rozłożyłeś na transpozycje. Parzystość permutacji jest równa liczbie transpozycji, które ją składają. U Ciebie jest 5 i 7 transpozycji i tak powinno być. 4 nie musisz brać w ogóle pod uwagę, skoro siedzi na swoim miejscu. Jeśli to Cię nie przekonuje to zastanów się, co byłoby z permutacja identycznościową pięciu elementów. Gdyby brać pod uwagę przejścia elementów na siebie, to permutacja ta byłaby nieparzysta, a przecież to absurd.
Reszta jest dobra.

Pozdrawiam,
mu

Grief · Post autor: **Grief** » 6 sty 2007, o 17:15

Czy mógłby ktoś rozwiązać \(\displaystyle{ \sigma^{35}}\) w tym zadaniu Mam podobne, ale inne dane i nie wiem jak się coś takiego robi.

m45turbo · Post autor: **m45turbo** » 6 sty 2007, o 19:36

Obawiam się, że wiedza na ten temat trochę mi wywietrzała z głowy, ale patrząc na notatki wygląda na to, że rozkładając na cykle rozłączne będziemy mieli sigma = (1,2,8)(3,9,5)(6,7), następnie każdy podnosimy do 35 potęgi przy czym korzystamy z tego, że cykl o długości 3 do potęgi 35 to to samo co cykl do potęgi będącej resztą z dzielenia 35 przez 3, zatem będzie to cykl do potęgi 2 itd.
sigma=(1,2,8)^2 (3,9,5)^2 (6,7)^1 = (1,8,2)(3,5,9)(6,7).

Grief · Post autor: **Grief** » 6 sty 2007, o 23:03

Dzieki

gg1985 · Post autor: **gg1985** » 20 sty 2007, o 17:17

Sorry, że tak zapytam, ale w tej permutacji pi dlaczego po przejściu na cykle, w drugim nawiasie po dwójce jest czwórka, a nie dziewiątka ? Przecież jedziemy od prawej.