Równanie macierzowe

[walexis]

Witam, mam problemy z następującymi przykładami:
\(\displaystyle{ a)}\)
\(\displaystyle{ 2Y*\left[\begin{array}{ccc}3&0&1\\0&4&0\\1&0&2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{array}\right]+Y*\left[\begin{array}{ccc}2&0&2\\0&4&0\\2&0&0\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ b)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} X+\left[\begin{array}{cc}1&-1\\-1&3\end{array}\right]Y=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{cc}3&1\\1&1\end{array}\right]X+Y=\left[\begin{array}{cc}2&1\\1&1\end{array}\right] \end{cases}}\)
Prosiłbym bardzo o rozwiązanie krok po kroku lub chociaż opisanie metody (lub wzorów) jaką mogę to rozwiązać. Z góry dzięki.

[BettyBoo]

Korzysta się z własności działań na macierzach.

a) równanie jest postaci \(\displaystyle{ 2Y*A=B+Y*C}\) (A,B,C to odpowiednie macierze)
przekształcamy równanie: \(\displaystyle{ Y(2A)-YC=B \ \Rightarrow \ Y(2A-C)=B}\)

Teraz trzeba sprawdzić, czy macierz \(\displaystyle{ 2A-C}\) jest odwracalna (wystarczy obliczyć wyznacznik i sprawdzić, czy jest różny od 0). Jeśli tak, to wtedy \(\displaystyle{ Y=(2A-C)^{-1}B}\). Jeśli nie, to z równania wynika, że Y jest macierzą 3x3 - ma więc 9 elementów. Elementy te jakoś oznaczamy (np kolejnymi literami a,b,c itd), wykonujemy mnożenie i otrzymujemy układ 9 równań z 9 niewiadomymi do rozwiązania.

b) układ jest postaci \(\displaystyle{ \begin{cases} X+AY=B\\ CX+Y=D\end{cases}}\). Rozwiązujemy to zwykłą metodą podstawiania. Możemy np wyznaczyć X z pierwszego równania i wstawić do drugiego, albo wyznaczyć Y z drugiego i wstawić do pierwszego.
Np mamy z 1 równania \(\displaystyle{ X=B-AY}\). Podstawiamy to do drugiego równania i mamy \(\displaystyle{ C(B-AY)+Y=D}\), a stąd dalej mamy

\(\displaystyle{ CB-CAY+Y=D \ \Rightarrow \ -CAY+Y=D-CB}\)

Żeby móc teraz wyłączyć Y po lewej stronie równości korzystamy z tego, że \(\displaystyle{ Y=IY}\), gdzie I jest macierzą jednostkową. No i dalej mamy \(\displaystyle{ (-CA+I)Y=D-CB}\)

I teraz tak samo jak w a), tzn jeśli \(\displaystyle{ (-CA+I)}\) jest odwracalna, to \(\displaystyle{ Y=(-CA+I)^{-1}(D-CB)}\), jeśli nie, to z układu wynika, że Y jest wymiaru 2x2, ma więc 4 elementy itd Potem obliczamy jeszcze X.

Pozdrawiam.

[walexis]

Dzięki wielkie, mam jeszcze tylko pytanko, wyznacznik wyszedł mi 64, czyli jest inny od 0. \(\displaystyle{ \left(2A-C \right)=\left[\begin{array}{ccc}4&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{array}\right]}\).
Mam wyrażenie \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}4&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{array}\right]^{-1}}\) i chciałem się tylko jeszcze dowiedzieć, czy teraz każdą z cyfr podnoszę do potęgi \(\displaystyle{ -1}\)? Wtedy otrzymuję coś takiego: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{4}&0&0\\0& \frac{1}{4} &0\\0&0& \frac{1}{4} \end{array}\right]}\) - jest to dobrze?

[BettyBoo]

Normalnie macierz odwrotną liczy się w trochę bardziej skomplikowany sposób (albo korzysta się ze wzoru albo z procesu Gaussa), ale w tym przypadku, ponieważ macierz wyjściowa jest diagonalna, to odpowiedź jest taka jak napisałeś.

Pozdrawiam.

[Mariusz M]

Obliczając macierz odwrotną korzystasz z

\(\displaystyle{ A \cdot A^{-1}=I}\)

Aby wyznaczyć macierz odwrotną rozwiązujesz układ równań

1 metodą wyznacznikową
2 metodą rozkładu LU
3 metodą eliminacji Gaussa

W metodzie eliminacji Gaussa możesz macierz jednostkową zapisać
od razu w miejsce kolumny wyrazów wolnych a w pozostałych metodach
macierz odwrotną liczysz kolumnami