Metodą eliminacji Gaussa rozwiązać nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x-2y+5z+4t=2\\6x-4y+4z+3t=3\\9x-6y+3z+2t=4 \end{cases}}\)
Stosując operacje elementarne na wierszach dochodzę do takiej macierzy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc|c}
1&- \frac{2}{3} & \frac{5}{3} & \frac{4}{3} & \frac{2}{3} \\
0 & 0 & -6 & -5 & -1
\end{array}\right]}\)
I co teraz?
Rozwiązać układ równań
-
Lukasz_C747
- Użytkownik
- Posty: 394
- Rejestracja: 5 maja 2007, o 22:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wieluń
- Pomógł: 99 razy
Rozwiązać układ równań
Pierwszy wiersz przemnożyłem przez 3, żeby nie bawić się z ułamkami.
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 3x-2y+5z+4t=2\\-6z+5t=-1 \end{array} \Rightarrow
\left\{\begin{array}{l} 3x-2y+5z+4t=2\\z=\frac{-1-5t}{-6} \end{array} \Rightarrow
\left\{\begin{array}{l} x=\frac{2+2y-5z-4t}{3}\\z=\frac{-1-5t}{-6} \end{array}}\)
Oczywiście należy jeszcze "z" w pierwszym podstawić i doliczyć, potem piszemy np.: że zbiorem rozwiązań jest \(\displaystyle{ \{(x,y,z,t) : x = \frac{2+2y-5z-4t}{3}, z = \frac{-1-5t}{-6}, y, t \in \mathbb{R}\}}\)
Krótko mówiąc po eliminacji dostaliśmy 2 równania, co daje nam 2 zmiennie, które możemy wyliczyć (dokładniej, patrz: tw. Kronecker-Capellego), resztę należy traktować jako dowolne parametry (niekoniecznie te, które ja wybrałem).
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 3x-2y+5z+4t=2\\-6z+5t=-1 \end{array} \Rightarrow
\left\{\begin{array}{l} 3x-2y+5z+4t=2\\z=\frac{-1-5t}{-6} \end{array} \Rightarrow
\left\{\begin{array}{l} x=\frac{2+2y-5z-4t}{3}\\z=\frac{-1-5t}{-6} \end{array}}\)
Oczywiście należy jeszcze "z" w pierwszym podstawić i doliczyć, potem piszemy np.: że zbiorem rozwiązań jest \(\displaystyle{ \{(x,y,z,t) : x = \frac{2+2y-5z-4t}{3}, z = \frac{-1-5t}{-6}, y, t \in \mathbb{R}\}}\)
Krótko mówiąc po eliminacji dostaliśmy 2 równania, co daje nam 2 zmiennie, które możemy wyliczyć (dokładniej, patrz: tw. Kronecker-Capellego), resztę należy traktować jako dowolne parametry (niekoniecznie te, które ja wybrałem).