liniowa niezaleznosc wektorow

[amdfanatyk]

nie jestem pewien, czy dobrze rozwiazuje:

\(\displaystyle{ 2-x, 3x-x^{2},2-2x-x^{2} w R[x]}\)
\(\displaystyle{ R\left[\begin{array}{ccc}2&0&1\\-1&3&-2\\0&-1&-1&\\\cdots&\cdots&\cdots&\\0&0&0\end{array}\right]=3}\) LNZ

\(\displaystyle{ x^{2}-x+3,2x^{2}+x+5,x^{2}+5x+1 w R_{r}[x]}\)
\(\displaystyle{ R\left[\begin{array}{ccc}3&5&1\\-1&1&5\\1&2&1&\end{array}\right]=3}\) LNZ

\(\displaystyle{ 1, cos(x), cos(2x), cos^{2}(x) w C(R)}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}(x)+cos^{2}(x)+0sin(x)+0cos(x),0sin^{2}(x)+0cos^{2}(x)+0sin(x)+cos(x),-sin^{2}(x)+cos^{2}(x)+0sin(x)+0cos(x),0sin^{2}(x)+cos^{2}(x)+0sin(x)+0cos(x)}\)
R=3 => LZ

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}2&-1&\\3&0&\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}1&1&\\2&1&\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}-1&0&\\1&0&\end{array}\right] ,\left[\begin{array}{cc}0&2&\\-2&1&\end{array}\right] w M_{22}}\)
tworze macierz, gdzie w kolumnach umieszczam elementy kazdej z powyzszych macierzy, R otrzymanej w ten sposob macierzy wynosi 3, zatem wektory sa LZ

[W_Zygmunt]

Przeczytaj definicję liniowej niezależności wektorów np. tu
... tor%C3%B3w
zatem sprawdzamy czy istnieje niezerowa kombinacja danych wektorów dająca
wektor zerowy.
Wektorami są nasze funkcje (można je traktować jak wektory o nieskończonej
liczbie współrzędnych), „a”, „b” i „c” liczby z ciała przestrzeni.
Tworzymy kombinację
\(\displaystyle{ a\cdot (2 - x) + b\cdot (x - x^{2}) + c\cdot (2 - 2\cdot x - x^{2})\,=\,0}\)
Przekształamy
\(\displaystyle{ -x^{2}\cdot (b + c) - x\cdot (a - b + 2\cdot c) + 2\cdot a + 2\cdot c\,=\,0}\)
Z równości wielomianów wynika, że wszystkie współczynniki muszą być zerami
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l} - (b + c)&\,=\,&0\\ - (a - b + 2\cdot c)&\,=\,&0\\ 2\cdot a + 2\cdot c&\,=\,&0\end{array}\right.}\)
Macierz tego równania
\(\displaystyle{ \left\[\begin{array}{ccc}0& - 1& - 1\\ - 1&1& - 2\\ 2&0&2\end{array}\right\]}\)
ma wyznacznik różny od zera
\(\displaystyle{ DET\left\[\begin{array}{ccc}0& - 1& - 1\\ - 1&1& - 2\\ 2&0&2\end{array}\right\]\,=\,4}\)
Zatem istnieje tylko rozwiązanie zerowe.
Czyli wektory są liniowo niezależne.
Pozostałe zadania rozwiązujesz na podobnej zasadzie.