Witam
Mam problem z poniższym zadaniem:
Dane są dwa wektory a i b:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2\\1\\10\end{array}\right]}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}4\\-1\\7\end{array}\right]}\)
Należy wyznaczyć kąt między nimi oraz przedstawić współrzędne obu wektorów w układzie współrzędnych, obróconym o kąt 60 stopni wokół osi x3.
Będę wdzięczny za pomoc.-- 12 lis 2009, o 20:22 --To jak, wie ktoś jak się do tego zabrać?
wyznaczanie kątu między wektorami
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
wyznaczanie kątu między wektorami
Kąt najprościej obliczyć z definicji iloczynu skalarnego: jeśli a,b to wektory, a \(\displaystyle{ \alpha}\) to kąt między nimi, to
\(\displaystyle{ \alpha=\arccos \frac{a\circ b}{|a||b|}}\)
Co do drugiej części - oczywiście pytanie brzmi, w którą stronę obracamy układ o 60 stopni. Obrócenie układu o 60 stopni i szukanie współrzędnych podanych wektorów w nowym układzie jest równoważne z obróceniem wektorów o 60 stopni w drugą stronę i szukaniem ich współrzędnych po obrocie (który jest przekształceniem liniowym). Macierz obrotu o x stopni wokół trzeciej osi w bazie kanonicznej ma postać \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} \cos x^\circ & -\sin x^\circ & 0\\ \sin x^\circ & \cos x^\circ & 0\\ 0&0&1\end{bmatrix}}\) (co wynika z tego, jak wygląda macierz obrotu płaszczyzny wokół początku układu). Dla znalezienia współrzędnych podanych wektorów wystarczy więc je wymnożyć z lewej przez macierz A, przyjmując odpowiedni x. Jeśli układ obraca się zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara, to x=60, a jeśli przeciwnie, to x=-60.
Pozdrawiam.
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ \alpha=\arccos \frac{a\circ b}{|a||b|}}\)
Co do drugiej części - oczywiście pytanie brzmi, w którą stronę obracamy układ o 60 stopni. Obrócenie układu o 60 stopni i szukanie współrzędnych podanych wektorów w nowym układzie jest równoważne z obróceniem wektorów o 60 stopni w drugą stronę i szukaniem ich współrzędnych po obrocie (który jest przekształceniem liniowym). Macierz obrotu o x stopni wokół trzeciej osi w bazie kanonicznej ma postać \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} \cos x^\circ & -\sin x^\circ & 0\\ \sin x^\circ & \cos x^\circ & 0\\ 0&0&1\end{bmatrix}}\) (co wynika z tego, jak wygląda macierz obrotu płaszczyzny wokół początku układu). Dla znalezienia współrzędnych podanych wektorów wystarczy więc je wymnożyć z lewej przez macierz A, przyjmując odpowiedni x. Jeśli układ obraca się zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara, to x=60, a jeśli przeciwnie, to x=-60.
Pozdrawiam.
Pozdrawiam.