Zależnośc liniowa

[daro[lo]]

Pokazać, że jeżeli wektory \(\displaystyle{ \vec{a}, \vec{b} , \vec{c}}\) są liniowo niezależne w przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ R^n}\), to wektory \(\displaystyle{ 2\vec{a}, \vec{a} + \vec{b}, \vec{b} -5 \vec{c}}\) także są liniowo niezależne. Czy wektory \(\displaystyle{ \vec{a}- \vec{b} , \vec{b}- \vec{c}, \vec{c}- \vec{a}}\)są liniowo niezależne?

[BettyBoo]

Trzeba wykazać, że jedyną kombinacją liniową dającą wektor zerowy jest kombinacja zerowa, tzn, że równanie

\(\displaystyle{ k_1(2\vec{a})+k_2( \vec{a} + \vec{b})+k_3( \vec{b} -5 \vec{c})=\vec{0}}\)

ma tylko jedno rozwiązanie: \(\displaystyle{ k_1=k_2=k_3=0}\).

To przekształcamy, porządkując wg wektorów:

\(\displaystyle{ (2k_1+k_2)\vec{a}+(k_2+k_3)\vec{b}-5k_3\vec{c}=\vec{0}}\)

Ponieważ wiemy, że wektory a,b,c są liniowo niezależne, to znaczy, że współczynniki w powyższym równaniu są równe 0. Stąd mamy układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2k_1+k_2=0\\ k_2+k_3=0\\ -5k_3=0\end{cases}}\)

a stąd oczywiście otrzymujemy \(\displaystyle{ k_1=k_2=k_3=0}\), a więc podane wektory są liniowo niezależne.


Co do drugiej części - odpowiedź brzmi nie. Bez żadnych obliczeń łatwo napisać taką kombinację podanych wektorów, która ma niezerowe współczynniki, ale daje w wyniku wektor zerowy - jasne, jaka ona może być?

Pozdrawiam.