Wykazać, że odwzorowanie jest liniowe i wyznaczyć macierz.

[herfoo]

Należey wyazać, że odwzorowanie jest liniowe i wyznaczyć macierze tego odwzorowania, jeśli dana jest baza dziedziny tego odwzorowani, a baza przeciwdziedziny jest bazą kanoniczną:

\(\displaystyle{ f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}: f[(x_{1}, x_{2}, x_{3})]=(x_{1}-x_{2}, -x_{3}), e_{1}=[1,0,0] e_{2}=[0,0,1] e_{3}=[1,1,0]}\)

Co będzie tutaj przeciwdzidziną jak wygląda baza kanoniczna. Czy mógłby ktoś rozwiązać mi ten przykład. Co jeśli odwzorowanie nie jest liniowe czy mógłbym prosić o jakiś przykład z rozwiązaniem w zasadzie tak najlepiej mi się uczy. Dziękuje i pozdrawiam

[Kamil_B]

Przeciwdziedziną odwzorowania \(\displaystyle{ f}\) jest baza kanoniczna \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2}}\)czyli zbior \(\displaystyle{ \{ f_{1},f_{2} \}}\) gdzie \(\displaystyle{ f_{1}=(1,0)}\) oraz \(\displaystyle{ f_{2}=(0,1)}\).

Wykazanie linowości \(\displaystyle{ f}\) to sprawdzenie wprost z definicji.
Aby wyznaczyć macierz tego odwzorowania musisz zobaczyc jak zachowuje się f na wektorach bazowych czyli \(\displaystyle{ e_{1},e_{2},e_{3}}\) a więc policzyc:
\(\displaystyle{ f(e_{1})=... \\
f(e_{2})=... \\
f(e_{3})=...}\)
i zapisać to jako kombinacje liniowe wektorów \(\displaystyle{ f_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ f_{2}}\) np.
\(\displaystyle{ f(e_{1})=f(1,0,0)=(1,0)=1 \cdot f_{1} + 0 \cdot f_{2}}\)
Analogicznie pozostale.
Teraz wystarczy wpisać te wspołczynniki stojące przy \(\displaystyle{ f_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ f_{2}}\) kolumnami w odpowiednią macierz i gotowe