Wyznacznik macierzy czwartego stopnia, bez zera

zaxer · Post autor: **zaxer** » 10 lis 2009, o 23:54

Witam,

Mam oto taki wyznacznik macierzy:

\(\displaystyle{ W = \left| \array{cccc}2 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -1 & 2\endarray \right|}\)

Chciałbym to obliczyć za pomocą La Place'a, ale od mam czego zacząć jeżeli żaden wiersz ani kolumna nie ma zera??

Eclipt · Post autor: **Eclipt** » 10 lis 2009, o 23:57

Dobrze byłoby najpierw uprościć przez operacje na wierszach i kolumach, tak aby jak najwięcej zer otrzymać w wyznaczniku.

BTW, taki przykład ładnie by się robiło metodą eliminacji Gaussa. Łatwo znaleźć na temat tej metody informacje chociażby w książce albo na necie.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 12 lis 2009, o 10:58

Lepiej zastosować rozkład LU=PA albo eliminację Gaussa

\(\displaystyle{ LU=PA}\)

Dla macierzy

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&1&1&1 \\ 2&-1&1&1\\2&2&1&-1\\2&1&-1&2 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&1&1&1 \\ 1&-1&1&1\\1&2&1&-1\\1&1&-1&2 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&1&1&1 \\ 1&-2&0&0\\1&1&0&-2\\1&0&-2&1 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&1&1&1 \\ 1&-2&0&0\\1&- \frac{1}{2} &0&-2\\1&0&-2&1 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&1&1&1 \\ 1&-2&0&0\\1&0&-2&1\\1&- \frac{1}{2} &0&-2 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0&0 \\ 1&1&0&0\\1&0&1&0\\1&- \frac{1}{2}&0&1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2&1&1&1 \\0&-2&0&0\\0&0&-2&1\\0&0&0&-2 \end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0 \end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix} 2&1&1&1 \\ 2&-1&1&1\\2&2&1&-1\\2&1&-1&2 \end{bmatrix}}\)

Czyli mamy

\(\displaystyle{ 1 \cdot \left( -16\right)= \left( -1\right) \cdot x}\)

\(\displaystyle{ -16=-x}\)

\(\displaystyle{ x=16}\)

\(\displaystyle{ \det{A}=16}\)

Jeżeli nieparzysta ilość przestawień wierszy sprowadzi macierz permutacji
do macierzy jednostkowej to

\(\displaystyle{ \det{P}=-1}\)

Jeżeli parzysta ilość przestawień wierszy sprowadzi macierz permutacji
do macierzy jednostkowej to

\(\displaystyle{ \det{P}=1}\)

Zdaje się że trochę niepoprawnie przepisałem twoją macierz ale dla swojej
obliczasz podobnie

1. Szukasz elementu głównego w kolumnie poniżej głównej przekątnej
(elementu o największym module) i jeśli ten element ma większy moduł od
elementu na głównej przekątnej to zamieniasz wiersze
2. Elementy w wierszu przepisujesz bez zmian
a elementy w kolumnie (poniżej głównej przekątnej) dzielisz przez element główny
3. Obliczasz uzupełnienie Schura do podmacierzy z wykreślonymi pierwszymi
k kolumnami i k wierszami macierzy
\(\displaystyle{ a_{i,j}=a_{ij}-a_{ik} \cdot a_{kj}}\)

Tu masz jak wyznaczyć rozkład LU

M_L · Post autor: **M_L** » 12 lis 2009, o 11:50

Kolega zaxer, wyraźnie sugeruje, że chciałby obliczyć wyznacznik za pomocą La Place'a (pewnie to polecenie "odgórne" jest), więc i ja wtrącę swoje \(\displaystyle{ 3gr}\)

zobacz tu:

ale od mam czego zacząć jeżeli żaden wiersz ani kolumna nie ma zera??

To nie jest żaden problem;)

Tutaj np., ładnie wszystko widać;)

Pokaż jak liczysz sprawdzimy:) Moim zdaniem wyznacznik tej macierzy wyniesie

[url=http://matri-tri-ca.narod.ru/en.index.html]\(\displaystyle{ 20.}\)[/url]

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 12 lis 2009, o 15:00

M_L pisze:Kolega zaxer, wyraźnie sugeruje, że chciałby obliczyć wyznacznik za pomocą La Place'a (pewnie to polecenie "odgórne" jest), więc i ja wtrącę swoje \(\displaystyle{ 3gr}\)
zobacz tu:

ale od mam czego zacząć jeżeli żaden wiersz ani kolumna nie ma zera??
To nie jest żaden problem;) Tutaj np., ładnie wszystko widać;)

Pokaż jak liczysz sprawdzimy:) Moim zdaniem wyznacznik tej macierzy wyniesie [url=http://matri-tri-ca.narod.ru/en.index.html]\(\displaystyle{ 20.}\)[/url]

Skoro ma obliczyć używając rozwinięcia Laplace to niech liczy

Metoda rozwinięcia Laplace jest nieefektywna i czasochłonna

\(\displaystyle{ O \left( n!\right)}\)

Stosując rozwinięcie Laplace dostajemy n! wyznaczników pierwszego stopnia

tymczasem rozkład LU daje

\(\displaystyle{ O \left(n^3 \right)}\)

Są ludzie np xiikzodz którzy uważają że metoda rozwinięć Laplace jest
lepsza jeżeli chodzi o obliczanie wyznaczników na papierze

Ja uważam że dla małych macierzy
(np do szóstego stopnia dla większych macierzy rozwinięcie Laplace zaczyna stawać się nieopłacalne)
można stosować rozwinięcie Laplace
ale dla większych macierzy najlepiej jest zastosować jakiś rozkład macierzy np LU=PA

W metodzie rozkładu LU=PA trzeba wprowadzić kolumnę obrazującą przestawienia
wierszy będzie ona pomocna przy odtworzeniu macierzy permutacji
Można także wprowadzić licznik przestawień wierszy aby od razu móc stwierdzić
ile wynosi wyznacznik macierzy permutacji

Zgadza się źle przepisałem macierz patrz mój post
ale rozkładu LU dokonałem poprawnie

M_L · Post autor: **M_L** » 12 lis 2009, o 15:12

mariuszm pisze: \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&1&1&1 \\ 2&-1&1&1\\2&2&1&-1\\2&1&-1&2 \end{bmatrix}}\)
[/latex]

wyznacznikiem tej macierzy, faktycznie będzie \(\displaystyle{ 16}\)

ale tej, o którą pyta autor tematu:

zaxer pisze: \(\displaystyle{ W = \left| \array{cccc}2 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -1 & 2\endarray \right|}\)

wyznacznikiem będzie \(\displaystyle{ 20}\), źle przepisałeś (patrz drugi wiersz, trzecia kolumna) stąd różnice:) Sprawdź.

[edit]
Jak pisałam (odpowiadałam) nie było tego:

Zgadza się źle przepisałem macierz patrz mój post
ale rozkładu LU dokonałem poprawnie

Prosiłeś o wyjaśnienia, stąd ten post...więc już wszystko jasne jest:)

zaxer · Post autor: **zaxer** » 12 lis 2009, o 16:49

Łał, ile odpowiedzi, dzięki za pomoc

Swoją drogą nie mam odgórnego polecenia policzyć to za pomocą metody Laplace'a jak wspomniała uprzejma koleżanka M_L. Mam poprostu równanie Cramera (cztery wiersze) i nie wiem jak się do tego zabrać - ułożyłem z niego wskaźnik macierzy (pierwszy post) i pierwsze co przyszło mi do głowy to metoda Laplace'a! Właśnie zabieram się za analizowanie Waszych postów i zobaczę co mi z tego wyjdzie, dzięki wielkie, pozdrawiam

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 12 lis 2009, o 17:35

zaxer pisze:Łał, ile odpowiedzi, dzięki za pomoc Swoją drogą nie mam odgórnego polecenia policzyć to za pomocą metody Laplace'a jak wspomniała uprzejma koleżanka M_L. Mam poprostu równanie Cramera (cztery wiersze) i nie wiem jak się do tego zabrać - ułożyłem z niego wskaźnik macierzy (pierwszy post) i pierwsze co przyszło mi do głowy to metoda Laplace'a! Właśnie zabieram się za analizowanie Waszych postów i zobaczę co mi z tego wyjdzie, dzięki wielkie, pozdrawiam

Skoro masz obliczyć układ równań w postaci Cramera to nie obliczaj wyznaczników
szybciej będzie dokonać rozkładu LU=PA tak jak pokazałem i rozwiązać dwa trójkątne układy

\(\displaystyle{ LU=PA}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} Ly=PB \\ Ux=y \end{cases}}\)

W układzie Cramera macierz główna układu jest kwadratowa i nieosobliwa