Hej,
mam taki problem:
wiedzac, ze macierz A ma rozny od zera wyznacznik, wykarz, ze miedzy wielomianem charakterystycznym macierzy A a wielomianem ch. macierzy odwrotnej zachodzi zaleznosc (h(alfa) wielomian macierzy odwrotnej).
\(\displaystyle{ h \left( \alpha \right) = \left( -\alpha \right) ^n \cdot \frac{1}{\det A} \cdot f \left( \frac{1}{\alpha} \right)}\)
wielomian charakterystyczny macierzy odwroconej
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
wielomian charakterystyczny macierzy odwroconej
\(\displaystyle{ h(\lambda ) =\det (A^{-1} -\lambda I) = \frac{1}{\det A} \cdot \det (I- \lambda A) = \\ =
\frac{1}{\det A} \cdot (-\lambda)^n\cdot \det (A- \frac{1}{\lambda}I) = \frac{1}{\det A} \cdot (-\lambda)^n\cdot f\left(\frac{1}{\lambda}\right)}\)
(pierwsza równość to definicja wielomianu charakterystycznego, druga to skorzystanie z tw. Cauchy'ego \(\displaystyle{ \det (B\cdot C)=\det B \cdot \det C}\), trzecia równość to wyciągnięcie z każdego wiersza \(\displaystyle{ -\lambda}\), a czwarta równość to znów skorzystanie z definicji wielomianu charakterystycznego)
Q.
\frac{1}{\det A} \cdot (-\lambda)^n\cdot \det (A- \frac{1}{\lambda}I) = \frac{1}{\det A} \cdot (-\lambda)^n\cdot f\left(\frac{1}{\lambda}\right)}\)
(pierwsza równość to definicja wielomianu charakterystycznego, druga to skorzystanie z tw. Cauchy'ego \(\displaystyle{ \det (B\cdot C)=\det B \cdot \det C}\), trzecia równość to wyciągnięcie z każdego wiersza \(\displaystyle{ -\lambda}\), a czwarta równość to znów skorzystanie z definicji wielomianu charakterystycznego)
Q.