norma macierzy

[Wilkołak]

Mam taką macierz:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}\sqrt{5}&-2\\\frac{1}{3}&\frac{\sqrt{5}}{3}\end{array}\right]}\)

Proszę o wskazówki i schemat postępowania jak policzyć:

\(\displaystyle{ ||A||_2}\)

[xiikzodz]

Zakładam, że chodzi o normę operatora. (Jeśli traktujemy A jako element \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\), to norma wynosi: \(\displaystyle{ \sqrt{a_{aa}^2+a_{12}^2+a_{21}^2+a_{22}^2}}\), ale to mało wartościowe podejście.)

\(\displaystyle{ \|A\|=\sup\{\|Ax\|:\|x\|\le 1\}}\).


Teraz sporo zależy od tego, z czego możemy korzystać.

Można skorzystać z utożsamienia z normą spektralną:

\(\displaystyle{ \|A\|=\sqrt{\lambda_{\max}(A^*A)}}\)

gdzie \(\displaystyle{ \lambda_{\max}(A^*A)}\) jest największą co do modułu wartością własną \(\displaystyle{ A^*A}\). Jeśli działamy nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), to \(\displaystyle{ A^*=A^T}\) po prostu.

Można też aalitycznie. Maksymalizujemy więc funkcjonał:

\(\displaystyle{ (x,y)\to\frac 13\left\|(\sqrt 15x-6y,x+\sqrt 5 y\right\|}\)

na kuli domkniętej jednostkowej.

Równoważnie maksymalizujemy wyrażenie:

\(\displaystyle{ (15x-6y)^2+(x+\sqrt 5y)^2}\)

pod warunkiem:

\(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\)

Kres jest osiągany, bo kula jest zwarta.

[Wilkołak]

Wow, nieźle. Tyle tylko ze na wykładzie pojawił się wzór, który po pewnym przekształceniu wygląda tak:

\(\displaystyle{ ||A||_p = sup \lbrace ||A* \vec{x} ||_p : \vec{x} \in K^n , || \vec{x}||_p = 1 \rbrace}\)
Tyle że nawet przy tej macierzy zastosowanie go i rozwiązanie tego co powstaje wydaje mi się niewykonalne...

Aha, na wykładzie mieliśmy p-te normy Schura. Nie było ani słowa o normach operatora.

[xiikzodz]

To dokładnie ten sam wzór, tylko dla p=2 i u mnie nieco ogolony z tekstu.

[Wilkołak]

Praktycznie wszystko co zastało napisane w pierwszym poście jest mi zupełnie obce.

No dobra, pokaże jak ja kombinowałem mając wzory tylko z wykładu i skryptu. Gdzie uprościć, gdzie przekombinowałem. To jak weźmiemy ten wzór powyzej, wektor:

\(\displaystyle{ \vec{x} =\left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right]}\)

Wtedy:

\(\displaystyle{ A \vec{x} = \left[\begin{array}{c}\sqrt{5}x_1 -2x_2\\\frac{1}{3}x_1 + \frac{\sqrt{5}}{3}x_2\end{array}\right]}\)

No i wtedy ze wzoru na normę p-tą wektora:

\(\displaystyle{ ||A \vec{x} ||_2 = sup \sqrt{|\sqrt{5}x_1 -2x_2|^2 + |\frac{1}{3}x_1 + \frac{\sqrt{5}}{3}x_2|^2}}\)

Do tego warunek:
\(\displaystyle{ x_1^2 + x_2^2 = 1}\)

I nie mam teraz zielonego pojęcia jak zmaksymalizować te wyrażenie...

[xiikzodz]

Dokładnie. Zamiast jednak maksymalizować to wyrażenie, łatwiej jego kwadrat.

Przy czym bez sprawności nierownościowych, albo mnożników będzie trudno.

Przeczytaj jeszcze taz ten zabieg z wartościami własnymi. Wychodzą paskudne, ale przynajmniej wszystko wykonalne...

[Wilkołak]

Ile jest takich wektorów x dla których osiągamy maksymalną wartość dla tamtego wyrażenia powyżej? Ile też jest dla jakiejś zadanej wartości mniejszej od tej maksymalnej?

[xiikzodz]

Teoria powiada (pod pewnymi założeniami, które wyglądają tu na spełnione), że jest tylko jedno maksimum..