Niech \(\displaystyle{ D}\) oznacza domknięte koło jednostkowe w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\). W przestrzeni \(\displaystyle{ C(D)}\) zespolonych funkcji ciągłych na \(\displaystyle{ D}\) określamy:
\(\displaystyle{ f\circ g=\iint_{D}f(x,y)\overline{g(x,y)}dxdy}\)
Dla każdej liczby \(\displaystyle{ n}\) niech \(\displaystyle{ f_{n}(x,y)=(x+iy)^{n}}\).
a) Pokazać, że ciąg funkcji \(\displaystyle{ \{f_{n}\}^{\infty}_{n=0}}\) jest nieskończonym układem ortogonalnym.
b) Znaleźć funkcję \(\displaystyle{ h}\) w \(\displaystyle{ C(D)}\) ortogonalną do wszystkich funkcji \(\displaystyle{ f_{n}}\).
Nieskończony układ ortogonalny.
-
xiikzodz
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Nieskończony układ ortogonalny.
Oznaczmy:
\(\displaystyle{ z=x+yi}\)
\(\displaystyle{ \mbox{d}D=\mbox{d}x\mbox{d}y}\)
\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{x^2+y^2}}\)
wówczas:
\(\displaystyle{ f_i\circ f_j=\int f_i\overline{f_j}\mbox{d}D=\int z^i(\overline z)^j\mbox{d}D=\int z^{i-j}z^j(\overline z)^j\mbox{d}D=\int z^{i-j}|z|^{2j}\mbox{d}D=}\)
Stosujemy teraz podstawienie biegunowe:
\(\displaystyle{ z =x+yi= (r\cos \varphi+ir\sin\varphi)}\)
Jakobian wynosi \(\displaystyle{ r}\).
\(\displaystyle{ z^{i-j} = r^{i-j}(r\cos (i-j)\varphi,r\sin(i-j)\varphi)}\)
\(\displaystyle{ |z|^{2j}=r^{2j}}\)
Obszar całkowania to prostokąt \(\displaystyle{ P=[0,1]\times[0,2\pi]}\).
\(\displaystyle{ \mbox{d}P=\mbox{d}r\mbox{d}\varphi}\).
\(\displaystyle{ =\int r\cdot r^{i-j}(r\cos (i-j)\varphi,r\sin(i-j)\varphi)r^{2j}\mbox{d}P=}\)
\(\displaystyle{ =\int r^{i+j+1}(\cos (i-j)\varphi+i\sin(i-j)\varphi)\mbox{d}P}\)
\(\displaystyle{ =\int_{[0,1]}r^{i+j+1}\mbox{d}r\left(\int_{[0,2\pi]} \cos (i-j)\varphi\mbox{d}\varphi+i\int_{[0,2\pi]}\sin(i-j)\varphi\mbox{d}\varphi\right)}\).
Zauważmy teraz, że jeśli \(\displaystyle{ m\neq 0}\), to:
\(\displaystyle{ \int_{[0,2\pi]}\cos m\varphi\mbox{d}\varphi=\left[\frac{\sin m\varphi}{m}\right]_0^{2\pi}=\frac{\sin 2\pi m-\sin 0}{m}=0}\)
i tak samo dla calki z \(\displaystyle{ \sin}\).
\(\displaystyle{ z=x+yi}\)
\(\displaystyle{ \mbox{d}D=\mbox{d}x\mbox{d}y}\)
\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{x^2+y^2}}\)
wówczas:
\(\displaystyle{ f_i\circ f_j=\int f_i\overline{f_j}\mbox{d}D=\int z^i(\overline z)^j\mbox{d}D=\int z^{i-j}z^j(\overline z)^j\mbox{d}D=\int z^{i-j}|z|^{2j}\mbox{d}D=}\)
Stosujemy teraz podstawienie biegunowe:
\(\displaystyle{ z =x+yi= (r\cos \varphi+ir\sin\varphi)}\)
Jakobian wynosi \(\displaystyle{ r}\).
\(\displaystyle{ z^{i-j} = r^{i-j}(r\cos (i-j)\varphi,r\sin(i-j)\varphi)}\)
\(\displaystyle{ |z|^{2j}=r^{2j}}\)
Obszar całkowania to prostokąt \(\displaystyle{ P=[0,1]\times[0,2\pi]}\).
\(\displaystyle{ \mbox{d}P=\mbox{d}r\mbox{d}\varphi}\).
\(\displaystyle{ =\int r\cdot r^{i-j}(r\cos (i-j)\varphi,r\sin(i-j)\varphi)r^{2j}\mbox{d}P=}\)
\(\displaystyle{ =\int r^{i+j+1}(\cos (i-j)\varphi+i\sin(i-j)\varphi)\mbox{d}P}\)
\(\displaystyle{ =\int_{[0,1]}r^{i+j+1}\mbox{d}r\left(\int_{[0,2\pi]} \cos (i-j)\varphi\mbox{d}\varphi+i\int_{[0,2\pi]}\sin(i-j)\varphi\mbox{d}\varphi\right)}\).
Zauważmy teraz, że jeśli \(\displaystyle{ m\neq 0}\), to:
\(\displaystyle{ \int_{[0,2\pi]}\cos m\varphi\mbox{d}\varphi=\left[\frac{\sin m\varphi}{m}\right]_0^{2\pi}=\frac{\sin 2\pi m-\sin 0}{m}=0}\)
i tak samo dla calki z \(\displaystyle{ \sin}\).