Witam!
Mam do znalezienia macierz kwadratową, taką że:
\(\displaystyle{ A^{2} = \left[\begin{array}{ccc}0&0\\0&0\end{array}\right]}\)
wiem, jak powinno wyglądać rozwiązanie:
Ogólna postać rozwiązania:
\(\displaystyle{ \pm \left[\begin{array}{ccc}ts&-t^2\\s^2&-ts\end{array}\right]}\)
tylko zasadniczo nie wiem, jak to obliczyć, a raczej skąd się właśnie takie rozwiązanie wzięło.
Mnożąc:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}0&0\\0&0\end{array}\right]}\)
i przyrównuję do siebie odpowiednie liczby, no i co dalej????????
Wiem, w moim zapisie jest pewna nieścisłość zmiennych, ale ten wynik przekopiowałam z innego forum:)
potęgowanie macierzy (równanie)
potęgowanie macierzy (równanie)
Wiem jak się mnoży macierze... no ale samo mnożenie mi nic nie da...
Po wymnożeniu wychodzi:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}a ^{2}+bc &ab+bd\\ca+dc&cb+d ^{2} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0&0\\0&0\end{array}\right]}\)
i to trzeba przyrównać do siebie, tylko z tego nie wychodzi mi nic konstruktywnego
Po wymnożeniu wychodzi:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}a ^{2}+bc &ab+bd\\ca+dc&cb+d ^{2} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0&0\\0&0\end{array}\right]}\)
i to trzeba przyrównać do siebie, tylko z tego nie wychodzi mi nic konstruktywnego
-
xiikzodz
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
potęgowanie macierzy (równanie)
\(\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\)
to ta macierz.
Skoro \(\displaystyle{ A^2=0}\), wartości własne tej macierzy są zerowe, czyli zarowno wyznacznik, jak i ślad są zerowe. Z zerowości śladu:
\(\displaystyle{ a=-d}\),
co wstawiamy do wyznacznika:
\(\displaystyle{ ad-bc=-d^2-bc}\).
Otrzymujemy więc:
\(\displaystyle{ bc=-d^2=-a^2}\)
skąd dla \(\displaystyle{ b\neq 0}\):
\(\displaystyle{ c=-\frac{a^2}{b}}\)
zaś dla \(\displaystyle{ b=0}\) mamy \(\displaystyle{ a=d=0}\).
Zatem wszystkie takie macierze możemy sparametryzować za pomocą \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) gdy \(\displaystyle{ b\neq 0}\):
\(\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}a&b\\-a^2/b&-a\end{pmatrix}}\)
lub za pomocą \(\displaystyle{ c}\) gdy \(\displaystyle{ b=0}\):
\(\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}0&0\\c&0\end{pmatrix}}\)
Oba przypadki można zwinąć do tego jednego z \(\displaystyle{ s,t}\), ale nie trzeba.
Pozostaje sprawdzić, że \(\displaystyle{ A^2=0}\) dla \(\displaystyle{ A}\) takiej postaci.
to ta macierz.
Skoro \(\displaystyle{ A^2=0}\), wartości własne tej macierzy są zerowe, czyli zarowno wyznacznik, jak i ślad są zerowe. Z zerowości śladu:
\(\displaystyle{ a=-d}\),
co wstawiamy do wyznacznika:
\(\displaystyle{ ad-bc=-d^2-bc}\).
Otrzymujemy więc:
\(\displaystyle{ bc=-d^2=-a^2}\)
skąd dla \(\displaystyle{ b\neq 0}\):
\(\displaystyle{ c=-\frac{a^2}{b}}\)
zaś dla \(\displaystyle{ b=0}\) mamy \(\displaystyle{ a=d=0}\).
Zatem wszystkie takie macierze możemy sparametryzować za pomocą \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) gdy \(\displaystyle{ b\neq 0}\):
\(\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}a&b\\-a^2/b&-a\end{pmatrix}}\)
lub za pomocą \(\displaystyle{ c}\) gdy \(\displaystyle{ b=0}\):
\(\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}0&0\\c&0\end{pmatrix}}\)
Oba przypadki można zwinąć do tego jednego z \(\displaystyle{ s,t}\), ale nie trzeba.
Pozostaje sprawdzić, że \(\displaystyle{ A^2=0}\) dla \(\displaystyle{ A}\) takiej postaci.