To zadanie to wyzwanie:
W zbiorze C \(\displaystyle{ \times}\) C określamy działania \(\displaystyle{ \oplus}\) oraz \(\displaystyle{ \odot}\)
\(\displaystyle{ (a,b) \oplus (c,d) = (a+c, b+d)}\)
\(\displaystyle{ (a,b) \odot (c,d) = (ac-b \overline{d}, ad+b \overline{c})}\)
1.Wykazać, że \(\displaystyle{ (C^2, \oplus, \odot)}\) jest ciałem nieprzemiennym (ciało to nazywamy ciałem kwaternionów)
2.Niech \(\displaystyle{ C^2_* = {(z_1, z_2) C^2:z_2=0}}\) Wykazać, że istnieje homomorficzne odwzorowanie ciała \(\displaystyle{ (C^2_*, \oplus, \odot)}\) na ciało \(\displaystyle{ (C^2, +, )}\)
3.Wykazać, że każdy kwaternion można przedstawić jednoznacznie w postaci \(\displaystyle{ x+yi+zj+vk}\), gdzie \(\displaystyle{ x,y,z,v R}\), \(\displaystyle{ i=(i,0), j=(0,1), k=(0,i)}\) oraz \(\displaystyle{ i^2=j^2=k^2= -1}\), \(\displaystyle{ j \odot k = -k \odot j = i}\), \(\displaystyle{ k \odot i = -i \odot k = j}\), \(\displaystyle{ i \odot j = - j \odot i = k}\)