Iloczyn kwadratów macierzy równy kwadratowi iloczynu

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Iloczyn kwadratów macierzy równy kwadratowi iloczynu

Post autor: Crizz »

Jakie warunki muszą spełniać dwie macierze kwadratowe A i B tych samych wymiarów, żeby \(\displaystyle{ A^2 \cdot B^2=(A \cdot B)^2}\)?
Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 361 razy

Iloczyn kwadratów macierzy równy kwadratowi iloczynu

Post autor: Kamil_B »

Jeśli dobrze pamiętam to zbiór macierzy kwadratowych nieosobliwych z mnożeniem macierzy jako działaniem stanowi grupę. Jeśli dodatkowo zażądamy aby była to grupa przemienna, to wówczas:
\(\displaystyle{ (AB)^{2}=(AB)(AB)=A(BA)B=A(AB)B=(AA)(BB)=A^{2}B^{2}}\)
co chcieliśmy pokazać.
Mam nadzieję, że nie skłamałem
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Iloczyn kwadratów macierzy równy kwadratowi iloczynu

Post autor: Crizz »

Dzięki, ale nie chodziło o strukturalność zbioru macierzy, tylko o warunki jakie mają spełniać poszczególne ich elementy.

Poza tym wskazałeś warunek dostateczny, a ja potrzebuję warunku koniecznego (skąd mam wiedzieć, czy \(\displaystyle{ A(BA)B=A(AB)B \Rightarrow BA=AB}\)? Dopiero, jak udowodnię, ze tak jest, to będę mógł zastąpić implikację równoważnością). Może można tego jakoś dowieść?
Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 361 razy

Iloczyn kwadratów macierzy równy kwadratowi iloczynu

Post autor: Kamil_B »

Szczerze nie do końca jestem pewien: Ty szukasz warunków równoważnych warunkowi \(\displaystyle{ A^{2}B^{2}=(AB)^{2}}\) ? Bo chyba zrozumiałem, że chodzi tylko o wskazanie w jedną stronę implikacji i dlatego tak napisałem:)
No ale mamy:
\(\displaystyle{ A^{2}B^{2}=(AB)^{2} \\
A(ABB)=(AB)(AB) \\
ABB=BAB \\
AB=BA}\)
Przejście z 2 do 3 linijki to lewostronne pomnożenie przez \(\displaystyle{ A^{-1}}\).
Przejście z 3 do 4 linijki to prawostronne przemnożenie przez \(\displaystyle{ B^{-1}}\).
Oprócz tego skorzystałem z łączności.
Pozdrawiam
ODPOWIEDZ