Potęgowanie macierzy

[izuleczka13]

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} cosa&sina\\-sina&cosa\end{bmatrix}^2}\)

prosze o pomoc w obileczniu tej macierzy

[Kamil_B]

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} cosa&sina\\-sina&cosa\end{bmatrix} ^{2}=\begin{bmatrix} cosa&sina\\-sina&cosa\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} cosa&sina\\-sina&cosa\end{bmatrix}}\)
Potrafisz mnożyć macierze ?

[Hania_87]

wiersz \(\displaystyle{ \cdot}\) kolumna



\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} cosa&sina\\-sina&cosa\end{bmatrix} ^{2}=\begin{bmatrix} cosa&sina\\-sina&cosa\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} cosa&sina\\-sina&cosa\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} cos^2a-sin^2a&2sina \cdot cosa\\-2sina \cdot cosa&-sin^2a+cos^2a\end{bmatrix}}\)

[izuleczka13]

dziękuje bardzo za pomoc . wiem jak sie mnoży macierze ale zmyliły mnie wartości cosa and sina
naprawdę bardzo dziękuję

[Mariusz M]

Ciekawe czy prawdziwe jest

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} cos{a}&sin{a}\\-sin{a}&cos{a}\end{bmatrix}^n= \begin{bmatrix} \cos{n \cdot a} &\sin{n \cdot a}\\ -\sin{n \cdot a}&\cos{n \cdot a} \end{bmatrix}}\)

[Kamil_B]

Ciekawe czy prawdziwe jest

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} cos{a}&sin{a}\\-sin{a}&cos{a}\end{bmatrix}^n= \begin{bmatrix} \cos{n \cdot a} &\sin{n \cdot a}\\ -\sin{n \cdot a}&\cos{n \cdot a} \end{bmatrix}}\)

To jest prawda.
Wystarczy zauważyć, że

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} cos{a}&sin{a}\\-sin{a}&cos{a}\end{bmatrix}}\)

jest macierzą obrotu o kąt \(\displaystyle{ a}\).
Natomiast \(\displaystyle{ n}\)-krotna potęga tej macierzy to po prostu \(\displaystyle{ n}\)-krotny obrót o kąt \(\displaystyle{ a}\) czyli obrót o kąt \(\displaystyle{ na}\) , co odpowiada macierzy:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} cos{na}&sin{na}\\-sin{na}&cos{na}\end{bmatrix}}\)