Obliczyć wartość wyznacznika, wyjaśnienie

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
zaxer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 29 paź 2009, o 12:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum
Podziękował: 4 razy

Obliczyć wartość wyznacznika, wyjaśnienie

Post autor: zaxer »

Witam, mam oto następujące zadanie.

Obliczyć wartość wyznacznika

\(\displaystyle{ W = \left| \begin{array}{cccc} 5 & 3 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & 4 & 3 \\ -3 & 6 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & -5 & -2 \end{array} \right|}\)

Wiem, że muszę rozwinąć ten wyznacznik wg. \(\displaystyle{ k=2}\), ponieważ występują tam dwa elementy równe zeru co ułatwi sprawę (przynajmniej w teorii, ale kompletnie nie wiem dlaczego akurat zera). Idąc dalej za przykładem z książki wychodzi coś takiego:

\(\displaystyle{ W = 3 \cdot \left( -1 \right) ^{1+2} \left| \begin{array}{ccc} 2 & 4 & 3 \\ -3 & 2 & 0 \\ 4 & -5 & -2 \end{array} \right| + 0 \cdot A _{22} + 6 \cdot \left( -1 \right) ^{3+2} \cdot \left| \begin{array}{ccc} 5 & -1 & 2 \\ 2 & 4 & 3 \\ 4 & -5 & -2 \end{array} \right| + 0 \cdot A _{42} .}\)

Wiem, że pozbyliśmy się \(\displaystyle{ k=2}\). Wiem, że korzystamy z rozwinięcia wyznacznika wg. elementów \(\displaystyle{ k}\)-tej kolumny:

\(\displaystyle{ A = a _{1k} A _{1k} + a _{2k} A _{2k} + ... + a _{ik} A _{ik} + ... + a _{nk} A _{nk}}\)

Nie wiem jakim cudem autor podstawił te wszystkie liczby do tego wzoru. I dlaczego elementy 2 4 3 są naprzemian poukładane w tych wyznacznikach? Czy ktoś może to przystępnie wytłumaczyć? Przecież tutaj nie ma Minora...
kasia_torun
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 71
Rejestracja: 28 paź 2009, o 22:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Toruń
Pomógł: 9 razy

Obliczyć wartość wyznacznika, wyjaśnienie

Post autor: kasia_torun »

Rozwijasz względem drugiej kolumny, więc:
bierzesz pierwszy wyraz tej kolumny, mnożysz go przez (-1) do potęgi nr kolumny+nr wiersza, potem pojawia się wyznacznik, który powstaje przez wykreślenie wiersza i kolumny , w których stoi ten wyraz.
Potem dalej bierzesz drugi element tej kolumny i postępujesz podobnie.
Dlaczego akurat względem drugiej kolumny? Bo masz tam najwięcej zer - co oznacza mniej liczenia;)
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Obliczyć wartość wyznacznika, wyjaśnienie

Post autor: Mariusz M »

Wyznacznik można także obliczyć za pomocą rozkładu LU

Na ważniaku jest pokazane jak wyznaczyć rozkład LU



Korzystając z rozkładu LU trzeba pamiętać że przestawienie wierszy
zmienia znak wyznacznika
Jeżeli macierze L i U zapiszemy w jednej tablicy to
wyznacznik jest iloczynem elementów na głównej przekątnej
zaxer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 29 paź 2009, o 12:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum
Podziękował: 4 razy

Obliczyć wartość wyznacznika, wyjaśnienie

Post autor: zaxer »

OK, dzięki wielkie za wyjaśnienie. Znalazłem równie pomocny dokument tutaj:

Kod: Zaznacz cały

http://chomikuj.pl/JEDREK86?fid=30127799
który wyjaśnił mi to idealnie.

Nie chcę dublować tematów... mam teraz problem z następującym zadaniem:

Oblicz wyznacznik

\(\displaystyle{ \left| \begin{array}{cccc} 0 & a & b & c \\ 1 & x & 0 & 0 \\ 1 & 0 & y & 0 \\ 1 & 0 & 0 & z \end {array} \right|}\)

Obliczam wg. \(\displaystyle{ k=2}\):

\(\displaystyle{ \left| \begin{array}{cccc} 0 & a & b & c \\ 1 & x & 0 & 0 \\ 1 & 0 & y & 0 \\ 1 & 0 & 0 & z \end {array} \right| = a \cdot (-1) ^{1+2} \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & y & 0 \\ 1 & 0 & z \end{array} \right| + x \cdot (-1) ^{2+2} \left| \begin{array}{ccc} 0 & b & c \\ 1 & y & 0 \\ 1 & 0 & z \end{array} \right| =}\)

\(\displaystyle{ = -a \cdot yz + x \cdot (-yc) - bz = -ayz + xyc - bz}\)


W książce podane jest inne rozwiązanie: \(\displaystyle{ -ayz - bxz - cxy}\). Gdzie robię błąd? Z góry serdeczne dzięki
Ostatnio zmieniony 30 paź 2009, o 15:36 przez zaxer, łącznie zmieniany 4 razy.
miodzio1988

Obliczyć wartość wyznacznika, wyjaśnienie

Post autor: miodzio1988 »

No cięzko pokazać gdzie robisz błąd jak nie pokazales swoich obliczen. Pokaz obliczenia to znajdziemy ewentualny (bo moze byc w ksiazce )błąd
kasia_torun
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 71
Rejestracja: 28 paź 2009, o 22:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Toruń
Pomógł: 9 razy

Obliczyć wartość wyznacznika, wyjaśnienie

Post autor: kasia_torun »

Coś mi się wydaje, że źle policzyłeś drugą część tzn tam gdzie masz \(\displaystyle{ x(-1)^{2+2}}\), gdyż to jest równe -xcy-bzx.
zaxer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 29 paź 2009, o 12:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum
Podziękował: 4 razy

Obliczyć wartość wyznacznika, wyjaśnienie

Post autor: zaxer »

Racja, prosty błąd i pomyłka w mnożeniu znaków.

A jak obliczyć naprawde dużą macierz, np o wymiarach 6x6?

Np.

\(\displaystyle{ \left| \begin{array}{cccccc} 2 & 1 & 4 & 3 & 5 & 3 \\ 5 & 6 & 8 & 7 & 4 & 2 \\ 8 & 9 & 7 & 6 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 5 & 4 & 0 & 0 \\ 4 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right|}\)
miodzio1988

Obliczyć wartość wyznacznika, wyjaśnienie

Post autor: miodzio1988 »

Macierzy się nie oblicza
1 sposob.
Rozwinięcie laplacea
2 sposob
Eliminacja Gussa i sprowadzenie macierzy do postaci trojkatnej gornej/dolnej
zaxer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 29 paź 2009, o 12:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum
Podziękował: 4 razy

Obliczyć wartość wyznacznika, wyjaśnienie

Post autor: zaxer »

To prawda, miałem na myśli wyznacznik, ale gafa... Póki co próbuję metodą Laplacea i nie wychodzi Próbuję rozwiązać powyższy przykład, wybieram kolumne:

\(\displaystyle{ \begin{array}{c}5\\4\\0\\0\\0\\0\end{array}}\)

i wykonuję obliczenia :

\(\displaystyle{ 5 \cdot (-1) ^{1+5} \left| \begin{array}{ccccc} 5 & 6 & 8 & 7 & 2 \\ 8 & 9 & 7 & 6 & 0 \\ 2 & 3 & 5 & 4 & 0 \\ 4 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & 5 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right| + 4 \cdot (-1) ^{2+5} \left| \begin{array}{ccccc} 2 & 1 & 4 & 3 & 3 \\ 8 & 9 & 7 & 6 & 0 \\ 2 & 3 & 5 & 4 & 0 \\ 4 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & 5 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right| =}\)

\(\displaystyle{ = -5 \cdot (-183) + (-4) \cdot (-156) = 915 + 624 = 1539}\)

Wynik w książce jest oczywiście inny (powinno wyjść \(\displaystyle{ 8}\))... nagmatwałem?
miodzio1988

Obliczyć wartość wyznacznika, wyjaśnienie

Post autor: miodzio1988 »

zaxer pisze:
\(\displaystyle{ = -5 \cdot (-183) + (-4) \cdot (-156) = 915 + 624 = 1539}\)
No tego nie rozumiem. Skąd to się wzięło Twoim zdaniem?
zaxer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 29 paź 2009, o 12:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum
Podziękował: 4 razy

Obliczyć wartość wyznacznika, wyjaśnienie

Post autor: zaxer »

Obliczyłem to korzystając z metody Sarrusa:

pierwszy wyznacznik tj. \(\displaystyle{ 5 \cdot 9 \cdot 5 - 2 \cdot 9 \cdot 8 - 4 \cdot 3 \cdot 7 - 6 \cdot 3 \cdot 5 = 45 - 144 - 84 = -183}\)

drugi wyznacznik tj. \(\displaystyle{ 2 \cdot 9 \cdot 5 - 2 \cdot 9 \cdot 4 - 4 \cdot 3 \cdot 7 - 6 \cdot 3 \cdot 5 = 90 - 72 - 84 = -156}\)
Awatar użytkownika
M_L
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 371
Rejestracja: 23 maja 2009, o 15:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 23 razy

Obliczyć wartość wyznacznika, wyjaśnienie

Post autor: M_L »

miodzio1988

Obliczyć wartość wyznacznika, wyjaśnienie

Post autor: miodzio1988 »

zaxer, metoda Sarusa jest tylko prawdziwa dla macierzy 3 na 3
caramella
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 14 paź 2009, o 13:43
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Pomógł: 2 razy

Obliczyć wartość wyznacznika, wyjaśnienie

Post autor: caramella »

ja skorzystałam z Leplace'a i wyszło mi 8
obliczyłam wzgledem 5 kolumny
def A=\(\displaystyle{ a_{15}}\)*\(\displaystyle{ D_{15}}\)+\(\displaystyle{ a_{25}}\)*\(\displaystyle{ D_{25}}\)=5*\(\displaystyle{ (-1)^{1+5}}\)*(-8)+4*\(\displaystyle{ (-1)^{2+5}}\)*(-12)=5*1*(-8)+4*(-1)*(-12)=-40+48=8
ODPOWIEDZ