Wyznacznik macierzy z minorów

[pumex]

Witam,
prosiłbym o wytłumaczenie obliczania wyznacznika macierzy za pomocą minorów. Wszyscy mówią że to proste, ale jakoś nie mogę skapować, a niestety nie było mnie na ostatnich zajęciach
Dla przykładu mam polecenie:
"Oblicz wyznacznik z definicji (za pomocą minorów)":
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&4&1\\0&1&-4\\-1&-4&2\end{array}\right]}\)

Z góry dzięki za pomoc

[Mariusz M]

Witam,
prosiłbym o wytłumaczenie obliczania wyznacznika macierzy za pomocą minorów. Wszyscy mówią że to proste, ale jakoś nie mogę skapować, a niestety nie było mnie na ostatnich zajęciach
Dla przykładu mam polecenie:
"Oblicz wyznacznik z definicji (za pomocą minorów)":
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&4&1\\0&1&-4\\-1&-4&2\end{array}\right]}\)

Z góry dzięki za pomoc

Prawdopodobnie chodzi o rozwinięcie Laplace

Rozwiń względem pierwszej kolumny bo tam jest zero

Algorytm Chio także wykorzystuje minory

\(\displaystyle{ =2\det{ \begin{bmatrix} 1&-4 \\ -4&2 \end{bmatrix} }-\det{ \begin{bmatrix} 4&1 \\ 1&-4 \end{bmatrix} }}\)

\(\displaystyle{ =2 \left(\det{ \begin{bmatrix} 2 \end{bmatrix} } +4\det{\begin{bmatrix} -4 \end{bmatrix}}\right)- \left( 4\det{\begin{bmatrix} -4 \end{bmatrix}}-\det{\begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}}\right)}\)

\(\displaystyle{ =2 \left(1 \cdot 2+4 \left(-4 \right) \right)- \left(4 \cdot \left(-4 \right) -1 \cdot \left(-1 \right) \right)}\)

\(\displaystyle{ 2 \left(2-16 \right) - \left(-16-1\right)=2 \left( -14\right)+17=-28+17=-11}\)

[caramella]

więc krok po kroku
najpierw wybieramy wiersz bądź kolumne w której jest najwięcej zer
ja wybrałam drugi wiersz
teraz piszemy wzór: defA=\(\displaystyle{ a_{21}}\)*\(\displaystyle{ D_{21}}\)+\(\displaystyle{ a_{22}}\)*\(\displaystyle{ D_{22}}\)+\(\displaystyle{ a_{23}}\)*\(\displaystyle{ D_{23}}\)
\(\displaystyle{ a_{21}}\)*\(\displaystyle{ D_{21}}\)=0, bo \(\displaystyle{ a_{21}}\)=0
teraz liczymy \(\displaystyle{ a_{22}}\)*\(\displaystyle{ D_{22}}\)
\(\displaystyle{ a_{22}}\)=1 , natomiast musimy policzyć \(\displaystyle{ D_{22}}\) ze wzoru \(\displaystyle{ (-1)^{m+n}}\)*\(\displaystyle{ M_{mn}}\)
\(\displaystyle{ M_{mn}}\) czyli nasz minor to nic innego jak policzenie wyznacznika macierzy powstałej po skreśleniu m-tego wiersza i n-tej kolumny, w tym wypadku skreślamy drugi wiersz i drugą kolumnę(zawsze skreślamy ten wiersz i tą kolumne w ktorej stoi nasza liczba a)
\(\displaystyle{ D_{22}}\)=5
\(\displaystyle{ a_{23}}\)=-4
\(\displaystyle{ D_{23}}\)=4
defA=\(\displaystyle{ a_{21}}\)*\(\displaystyle{ D_{21}}\)+\(\displaystyle{ a_{22}}\)*\(\displaystyle{ D_{22}}\)+\(\displaystyle{ a_{23}}\)*\(\displaystyle{ D_{23}}\)=0+1*5+(-4)*4=5-16=-11

[pumex]

Dzięki wielkie za pomoc

-- 2 listopada 2009, 16:48 --

Jeszcze jedna prośba:
jak w najprostszy sposob obliczyć wyznacznik takiej macierzy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\-1&0&-1&2\\2&1&0&1\\-1&0&2&0\end{array}\right]}\)
?