Wyznacz macierz symetryczna wzgledem prostej

[Looking4Brain]

Zadania:
1) Rozwiazane Dane sa macierze \(\displaystyle{ A\in K^{m,n}}\), \(\displaystyle{ B\in K^{n,p}}\) takie, ze (i) suma elementow w kazdym wierszu macierzy A jest rowna s oraz (ii) suma elementow w kazdym wierszu macierzy B jest rowna r. Pokaz, ze suma elementow w kazdym wierszu macierzy AB jest rowna rs.

2) Nierozwiazane Dla \(\displaystyle{ \Theta\in R}\) wyznacz macierz \(\displaystyle{ C_{\Theta}\in R^{2,2}}\)taka, ze odwzorowanie f: \(\displaystyle{ R^{2} \rightarrow\ R^{2}}\)

\(\displaystyle{ f( \vec{x} ) = C_{\Theta}\vec{x}}\)

jest symetria wzgledem prostej przechodzacej przez poczatek ukladu wspolrzednych i nachylonej do osi Ox pod katem \(\displaystyle{ \Theta\}\).

Probowalem zrobic oba zadania - bez skutku. Do 2 praktycznie nie wiem jak sie zabrac, natomiast 1 probowalem zrobic tworzac proste macierze, wyznaczajac maciez C = AB a potem sprawdzajac rs jako zbior sum argumentow wierszy macierzy C i jako wynik mnozenia sum argumentow wierszy macierzy A i B ( pojedynczych wierszy ) i nigdy nie dochodzilem do niczego konstruktywnego. Dlatego prosze o pomoc w ich rozwiazaniu.

Z gory dziekuje i pozdrawiam.

[Maciej87]

Niech \(\displaystyle{ u_n = \sum\limits_{k=1}^{n}e_i}\) będzie wektorem złożnym z \(\displaystyle{ n}\) jedynek.

Dla macierzy o \(\displaystyle{ n}\) kolumnach jeśli pomnożymy
\(\displaystyle{ M\cdot u_n}\)
to dostaniemy wektor o współrzędnych równych sumom odpowiednich wierszy.
(Trzeba sobie wyobrazić jak wygląda mnożenie przez wektor jedynek)

Wystarczy teraz rozpisać

\(\displaystyle{ \left(AB\right) u_p = A \left(Bu_m\right) = A \left(r\cdot u_n\right) = r\cdot Au_n = rs\cdot u_m}\)

więc w każdym z \(\displaystyle{ m}\) wierszy suma jest \(\displaystyle{ rs}\)

[Looking4Brain]

Niech \(\displaystyle{ u_n = \sum\limits_{k=1}^{n}e_i}\) będzie wektorem złożnym z \(\displaystyle{ n}\) jedynek.

Dla macierzy o \(\displaystyle{ n}\) kolumnach jeśli pomnożymy
\(\displaystyle{ M\cdot u_n}\)
to dostaniemy wektor o współrzędnych równych sumom odpowiednich wierszy.
(Trzeba sobie wyobrazić jak wygląda mnożenie przez wektor jedynek)

Wystarczy teraz rozpisać

\(\displaystyle{ \left(AB\right) u_p = A \left(Bu_m\right) = A \left(r\cdot u_n\right) = r\cdot Au_n = rs\cdot u_m}\)

więc w każdym z \(\displaystyle{ m}\) wierszy suma jest \(\displaystyle{ rs}\)

Dzieki za szybka odpowiedz. Niestety mam sporo problemow z tego typu zadaniami i niespecjalnie orientuje sie w temacie. Po pierwsze o co chodzi z wektorem jedynek ? Szczerze mowiac pierwszy razy widze taka metode ( ekhm ... szczerze mowiac nie widzialem rowniez wiele metod rozwiazywania zadan z macierzami ) - wektor z jedynek ( jak rozumiem ) bedzie potrzebny do skopiowania / wyliczenia wszystkich sum wierszy danej macierzy ( wektora - "macierz jednokolumnowa"; mnozenie - zgodnosc wielkosci wiersza macierzy a wielkosci kolumny drugiej macierzy ( tu wektora ) ).

Wygladac to powinno w ten sposob ( przepraszam, ze bez formatowania ):
\(\displaystyle{ u_n = [ 1, 1, 1 ... 1 ]}\) ( n razy + odwrocic do kolumny ).
Macierz M ( nie bede sie rozpisywal ) o ilosci kolumn n i wierszy m.

Teraz najwieksza niewiadoma jest dla mnie powstale w wyniku Twojego rozumowania dzialanie na macierzach i wektorze. Dlaczego robimy to w taki sposob ? Rozumiem pierwsza czesc - znajdujemy wektor sum macierzy AB do dalszego porownania. Natomiast to, co dzieje sie dalej, to dla mnie czarna magia. Jak juz wczesniej mowilem, nie jestem bardzo doswiadczony w temacie macierzy. A napisalem to wypracowania jako tok mojego myslenia - nie chce byc uwazany za ignoranta, ktory szuka gotowych rozwiazan.

Dziekuje, Macieju, za blyskawiczna odpowiedz.

[Maciej87]

No właśnie taki. Jedynki stoją w kolumnie i po wymnożeniu wychodzą sumy wierszy.
I oczywiście muszą pasować do siebie wymiary.

\(\displaystyle{ AB u_p}\) to wektor sum macierzy \(\displaystyle{ AB}\) (wymiary się zgadzają)

Działanie na macierzach jest łączne

\(\displaystyle{ AB u_p = A \left(Bu_p \right)}\)

ale \(\displaystyle{ Bu_p}\) to nic innego jak wektor sum wierszy macierzy \(\displaystyle{ B}\) równy z założenia \(\displaystyle{ r u_n}\)
(czyli liczba \(\displaystyle{ r}\) na każdej z \(\displaystyle{ n}\) współrzędnych)

\(\displaystyle{ r}\) jest skalarem, liczbą, więc można ją wyciągnąć przed macierze

\(\displaystyle{ A \left(Bu_p \right) = A \left(ru_n\right) = r Au_n}\)

i dalej, \(\displaystyle{ Au_n}\) daje w wyniku sumy wierszy \(\displaystyle{ A}\), co jest równe \(\displaystyle{ s u_m}\) (czyli jedynka w każdej z \(\displaystyle{ m}\) współrzędnych)

a wektor \(\displaystyle{ rs\cdot u_m}\) jest tym co chcemy

To może zastanów się, jaki trik na macierzy poda nam sumy kolejnych kulumn?

[Looking4Brain]

No właśnie taki. Jedynki stoją w kolumnie i po wymnożeniu wychodzą sumy wierszy.
I oczywiście muszą pasować do siebie wymiary.

\(\displaystyle{ AB u_p}\) to wektor sum macierzy \(\displaystyle{ AB}\) (wymiary się zgadzają)

Działanie na macierzach jest łączne

\(\displaystyle{ AB u_p = A \left(Bu_p \right)}\)

ale \(\displaystyle{ Bu_p}\) to nic innego jak wektor sum wierszy macierzy \(\displaystyle{ B}\) równy z założenia \(\displaystyle{ r u_n}\)
(czyli liczba \(\displaystyle{ r}\) na każdej z \(\displaystyle{ n}\) współrzędnych)

\(\displaystyle{ r}\) jest skalarem, liczbą, więc można ją wyciągnąć przed macierze

\(\displaystyle{ A \left(Bu_p \right) = A \left(ru_n\right) = r Au_n}\)

i dalej, \(\displaystyle{ Au_n}\) daje w wyniku sumy wierszy \(\displaystyle{ A}\), co jest równe \(\displaystyle{ s u_m}\) (czyli jedynka w każdej z \(\displaystyle{ m}\) współrzędnych)

a wektor \(\displaystyle{ rs\cdot u_m}\) jest tym co chcemy

To może zastanów się, jaki trik na macierzy poda nam sumy kolejnych kulumn?

Hehe, chyba juz wiem, o co Ci chodzi. Szczerze mowiac idea z wprowadzaniem idei lacznosci dzialan na macierzy troche mnie zwiodla a potem nie moglem sie polapac w wektorkach w postaci \(\displaystyle{ u_p}\). Natomiast majac te wiedze i czytajac dalej Twoje wywody, faktycznie mozna zauwazyc powiazanie uzytych teorii ( mysle, ze to po prostu moja wina i brak zrozumienia przy postaci: \(\displaystyle{ ru_n}\) ( co znowoz jest przeksztalceniem sumy argumentow wierszy macierzy \(\displaystyle{ B}\) na wektor \(\displaystyle{ u_n}\) - ten sam problem byl obecny przy \(\displaystyle{ Au_n = su_m}\) ) ). Wszystko wydaje sie jasne. Dzieki za klarowna odpowiedz i cierpliwosc.

Jesli chodzi o sume kolumn to rzecz ( tak mysle, choc moj umysl to chyba juz sieczka po godzinach spedzonych nad matma ) ma sie odwrotnie jak w wyzej rozwiazanym przez Ciebie zadaniu. Odwrotnosc ta polega natomiast na tym, ze nie stosujemy wektorow ale funkcjonaly ( jednowierszowe macierze ), ktore przy mnozeniu \(\displaystyle{ Mu_n}\) - gdzie \(\displaystyle{ M}\) stanowi macierz a \(\displaystyle{ u_n}\) stanowi funkcjonal - dadza sume argumentow w poszczegolnych kolumnach na miejscach od 1 do n ( w funkcjonale ).

Mam nadzieje, ze nigdzie sie nie pomylilem a moj wywod nie jest bledny / zbyt pokrecony. Jeszcze raz dzieki za okazana pomoc. Ciekawe, czy ktos bedzie w stanie rozwiazan / wytlumaczyc zadanie 2 z takim rozmachem i dokladnoscia.


Pozdrawiam, Looking4Brain.

-- 26 paź 2009, o 16:39 --

Jesli ktos ma pomysl jak rozwiazac zadania 2, niech sie nie krepuje i wypisze swoje pomysly. Wydaje mi sie, ze jest jakas latwa metoda na zrobienie tego zadania, natomiast ja jej osobiscie nie widze. Milo mi bedzie, jesli ktos pokaze jakiekolwiek potencjalnie dobre rozwiazanie.


Pozdrawiam, Looking4Brain.