Dla jakich n macierz jest nieosobliwa?

[emperor2]

Dana jest macierz \(\displaystyle{ A \in R ^{n,n}}\) taka, że:
//dla kolejnych n wygląda następująco:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}
0\\
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{cc}
0&1\\
1&0\\
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{ccc}
0&1&0\\
1&0&1\\
0&1&0\\
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{cccc}
0&1&0&0\\
1&0&1&0\\
0&1&0&1\\
0&0&1&0\\
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{ccccc}
0&1&0&0&0\\
1&0&1&0&0\\
0&1&0&1&0\\
0&0&1&0&1\\
0&0&0&1&0\\
\end{array}\right]}\)
itd...

Zbadaj, dla jakich liczb naturalnych n macierz A jest nieosobliwa.

Rozrysowałem to sobie jakoś, dla kilku początkowych n, i wychodzi mi, że jest nieosobliwa dla parzystych n,
ale pewnie da się to zrobić/zapisać porządnie - pytanie: jak?

[Mariusz M]

Dana jest macierz \(\displaystyle{ A \in R ^{n,n}}\) taka, że:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}
0&1\\
1&0\\
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{ccc}
0&1&0\\
1&0&1\\
0&1&0\\
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{cccc}
0&1&0&0\\
1&0&1&0\\
0&1&0&1\\
0&0&1&0\\
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{ccccc}
0&1&0&0&0\\
1&0&1&0&0\\
0&1&0&1&0\\
0&0&1&0&1\\
0&0&0&1&0\\
\end{array}\right]}\)
itd...

Zbadaj, dla jakich liczb naturalnych n macierz A jest nieosobliwa.

Rozrysowałem to sobie jakoś, dla kilku początkowych n, i wychodzi mi, że jest nieosobliwa dla parzystych n,
ale pewnie da się to zrobić/zapisać porządnie - pytanie: jak?

Tych macierzy nie można wymnożyć (wymiary się nie zgadzają)
więc macierz nie istnieje taka macierz chyba że inaczej zdefiniujesz mnożenie

[xiikzodz]

\(\displaystyle{ A_n}\) to taka macierz \(\displaystyle{ n\times n}\).

Łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ \det(A_{n+2})=-\det(A_n)}\).

Żeby to zobaczyć, rozwijasz względem pierwszego od góry wiersza, otrzymujesz \(\displaystyle{ -1}\) razy wyznacznik macierzy o jeden mniejszego rozmiaru, której wyznacznik obliczasz rozwijając względem pierwszej (od prawej) kolumny otrzymując \(\displaystyle{ 1}\) razy wyznacznik \(\displaystyle{ A_{n-2}}\). Argument kończy obliczenie wyznacznika \(\displaystyle{ A_2}\) i \(\displaystyle{ A_3}\).

[emperor2]

Tych macierzy nie można wymnożyć...

I nie ma takiej potrzeby. Napisałem jak wygląda ta macierz \(\displaystyle{ A ^{n,n}}\) dla kolejnych n=1,2,3,4,5... Poprawiłem trochę posta.

Łatwo zauważyć, że det...

Hmm... nie mieliśmy jeszcze wyznaczników, więc pewnie da się to też inaczej uzasadnić.
Układów r-nań liniowych też nie rozwiązywaliśmy.
Tak czy inaczej dziękuję za odp.!

[miki999]

Hmm... nie mieliśmy jeszcze wyznaczników, więc pewnie da się to też inaczej uzasadnić.

Zatem jak definiowaliście macierz nieosobliwą?

[emperor2]

Zatem jak definiowaliście macierz nieosobliwą?

Jako macierz kwadratową n x n dla której istnieje macierz odwrotna \(\displaystyle{ A ^{-1}}\)
\(\displaystyle{ A \cdot A ^{-1} =I _{n}= A ^{-1} \cdot A}\)
Był też warunek nieosobliwości - wtw. gdy dla każdego \(\displaystyle{ \vec{b}}\) układ r-nań \(\displaystyle{ A \cdot \vec{x}=\vec{b}}\) ma jednoznaczne rozwiązanie \(\displaystyle{ \vec{x}}\).
Ale to chyba się tutaj nie przyda.
Może chodzi o to, żeby wymnożyć macierz A przez drugą macierz n x n, zobaczyć, co z tego wyjdzie i coś tam "zauważyć".

[miki999]

Tyle, że macierz osobliwa jest nieodwracalna, więc jak mogliście używać takiego kryterium?

[xiikzodz]

Hmm, dla n parzystych "się da" wypisać macierz odwrotną. Macierz odwrotna ma w tym przypadku dość regularny, ale zawiły wygląd (jedynki i minus jedynki porozrzucane po macierzy tak, że działa na nie jakaś 2-grupa). W każdym razie to dość trudne. Jeszcze gorzej jest w przupadku nieparzystym.

-- 25 października 2009, 14:11 --

Jakiś pomysł mam jednak. Rozważmy macierz, którą podam wypisując kolejno połowę przekątnych od prawego dolnego do lewego górnego:

0
1,1
0,0,0
-1,0,0,-1
0,0,0,0,0
1,0,1,1,0,1
0,0,0,0,0,0,0
-1,0,-1,0,0,-1,0,-1

itd. schemat powinien być czytelny - "rozmnażamy" układy 101 lub -10-1 od środka przekątnej, przedzielając zerami.

Po dojściu do połowy wypisujemy w odwrotnej kolejności.

Na przykład w przypadku n=9 ta macierz wygląda tak:

\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1\\
-1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -0 & -1\\
1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & -0 & -0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
-1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0\end{pmatrix}}\)


Wydaje mi się, że niezależnie od n tak skonstruoawana macierz jest macierzą dopełnień algebraicznych. W przypadku n parzystych będzie to więc odwrotność, a w przypadku n nieparzystych będzie można z niej stosunkowo łatwo wyprodukować dwa wektory, na których macierz wyjściowa daje ten sam wynik, co dowiedzie osobliwości.

[emperor2]

Tyle, że macierz osobliwa jest nieodwracalna, więc jak mogliście używać takiego kryterium?

Ale chyba wszystko się zgadza:
Macierz nieosobliwa / odwacalna - posiada macierz odwrotną.
Macierz osobliwa - nie posiada macierzy odwrotnej.

Jakiś pomysł mam jednak...

edit:
Dzięki!

[bemekw]

Witam: z góry przepraszam za odkopywanie tematu, ale mam problem z takim samym zadaniem. Chodzi tu o formalny zapis; tak jak autor tematu nie miałem jeszcze takich zagadnień jak wyznaczniki. Rozumiem jak to mniej więcej ma być wg. poście xiikzodz, jednak chodzi mi własnie o formalny zapis tego, że macierz jest nieosobliwa dla n parzystego.

Formalne przedstawienie macierzy (dla przypomnienia):

\(\displaystyle{ a_{i,j} = \begin{cases} 1 \Leftrightarrow |i-j| = 1 \\ 0 \Leftrightarrow |i-j| \neq 1 \end{cases}}\)-- 27 paź 2011, o 17:31 --I jak, nikt żadnych pomysłów?
Dodam, że można to zrobić układając układ równań:
\(\displaystyle{ x_2 = b_1}\)
\(\displaystyle{ x_1 + x_3 = b_2}\)
.
.
\(\displaystyle{ x_{n-2} + x_{n} = b_{n-1}}\)
\(\displaystyle{ x_{n-1} = b_{n}}\)

Teraz trzeba wykazać, że tylko dla parzystych \(\displaystyle{ n}\) rozwiązanie takiego układu istnieje i jest jednoznaczne (wtedy macierz jest nieosobliwa).
Jak zabrać się do takiego układu równań? Normalnie to by się sprowadziło do postaci macierzy i badało wyznaczniki ale: 1) własnie z postaci macierzy otrzymaliśmy równania 2) należy zrobić zadanie bez użycia wyznaczników.