baza dla wielomianu drugiego stopnia

[Jacek_fizyk]

Witam! czy ktos moze mi powiedziec dlaczego otrzymano taki wynik w nastepujacym zadaniu:
Niech \(\displaystyle{ P_{2}}\) bedzie rzeczywistymi wielomianami stopnia drugiego a U niech bedzie podprzestrzenia \(\displaystyle{ P_{2}}\) gdzie \(\displaystyle{ U= \begin{cases} p \in P_{2};\int_{-1}^{1}p(t)dt=0 \end{cases}}\)

a) wyznaczyc baze dla U
w rozwiazaniu jest:

wielomian \(\displaystyle{ p(t) = a+bt+ct^2}\) nalezy do U\(\displaystyle{ \Leftrightarrow \int_{-1}^{1}p(t)dt=2a+\frac{2}{3}c}\) do tego momentu jeszcze rozumiem.....
ale dalej w rozwiazaniu jest
\(\displaystyle{ 2a+\frac{2}{3}c= 0 lub 6a+3c=0}\) skad sie wzielo to drugie rownanie????

a najwieksza zagadka to:
baza dla U jest zatem

\(\displaystyle{ p_{1}(t)=t}\) i \(\displaystyle{ p_{2}(t)=1-3t^2}\)

jak obliczyc to ostanie, prosze o pomoc

[Qń]

Istotnie jeśli ta całka ma się równać zero, to mamy: \(\displaystyle{ 2a+\frac{2}{3}c=0}\). Jeśli pomnożymy obie strony przez \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) to otrzymamy \(\displaystyle{ 3a+c=0}\) (druga napisana przez Ciebie równość jest błędna), czyli \(\displaystyle{ c=-3a}\).

Mamy zatem:
\(\displaystyle{ a+bt+ct^2=a+bt-3at^2=a(1-3t^2) + bt}\)

Skoro więc każdy wielomian z naszej przestrzeni jest liniową kombinacją wielomianów \(\displaystyle{ t}\) i \(\displaystyle{ 1-3t^2}\), a dodatkowo te dwa wielomiany są liniowo niezależne, to są one bazą naszej przestrzeni.

Q.

[Jacek_fizyk]

dzieki bardzo, sposob w ktory to napisales wyglada naprawde logicznie i latwiej do rozwiazania niz ten podany w materialach z wykladu.....
Pozdrawiam