Wielomiany lagrange`a.

[Zlodiej]

wykaż, że wielomiany
\(\displaystyle{ P_o\,=\,1, \quad P_k(x)\,=\, \frac{1}{2^kk!} \, \frac{d^k}{dk^k}[(x^2\,-\,1)^k], \quad k=1,2, \ldots, n,}\)
tworza bazę ortogonalną w przestrzeni euklidesowej R[x] z iloczynem skalarnym
\(\displaystyle{ \int_{-1}^1 \, f(x)g(x)\,dx.}\)

[Sir George]

Witam,

to jest zadanie raczej z analizy...

Po pierwsze trzeba zauważyć, że dla k>m i x=�1 zachodzi
\(\displaystyle{ \frac{d^m}{dx^m}\left[\left(x^2-1\right)^k\right]=0}\)

Dalej całkując przez części masz z powyższego faktu dla k>m
\(\displaystyle{ \int_{-1}^{1} \frac{d^m}{dx^m}\left[\left(x^2-1\right)^k\right] \frac{d^n}{dx^n}\left[\left(x^2-1\right)^j\right] dx = -\int_{-1}^{1} \frac{d^{m-1}}{dx^{m-1}}\left[\left(x^2-1\right)^k\right] \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}}\left[\left(x^2-1\right)^j\right] dx}\)

Teraz powtarzając powyższą równość odpowiednią liczbę razy dostajesz odpowiednie zależności
(tzn. albo 0, albo całkę, którą już można obliczyć, i która wychodzi równa 1).

Pozostawiam szczegóły do dopracowania...