Iloczyn skalarny w przestrzeni funkcji rzeczywistych

[gott314]

Niech \(\displaystyle{ V=C^2[-\pi,\pi]}\) oznacza przestrzeń rzeczywistych funkcji dwukrotnie różniczkowalnych w sposób ciągły na przedziale \(\displaystyle{ [-\pi,\pi]}\). Czy wzór

\(\displaystyle{ (f,g)=f(-\pi)g(-\pi)+\int_{-\pi}^{\pi}f''(x)g''(x)dx}\)

określa iloczyn skalarny w \(\displaystyle{ V}\)? Odpowiedź uzasadnij.

[Yaco_89]

Znasz definicję iloczynu skalarnego, wiesz jakie warunki musi spełniać?

[gott314]

Tak, znam. Chodzi mi głównie o warunek:

\(\displaystyle{ (f,f)=f(-\pi)^2+\int_{-\pi}^{\pi}f''(x)^2dx}\)

Czy zachodzi \(\displaystyle{ (f,f)>0}\) oraz \(\displaystyle{ (f,f)=0}\)?

[Yaco_89]

Chodzi Ci o warunek \(\displaystyle{ (f,f)>0}\) dla \(\displaystyle{ f(x) \neq 0}\) ? Tak. Zauważ, że masz tu sumę dwóch składników: kwadratu wartości \(\displaystyle{ f(-\pi)}\), który w oczywisty sposób jest nieujemny, oraz całkę z kwadratu funkcji, która też jest na pewno większa od 0 (bo \(\displaystyle{ (f''(x))^2 \ge 0 \bigvee x \in <-\pi,\pi>}\), a z twierdzenia o wartości średniej \(\displaystyle{ \int_{-\pi}^{\pi}f''(x)^2dx=(2\pi \cdot f''(c))^2 \ge 0}\)).

[Qń]

Dla niezerowej funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x+\pi}\) mamy \(\displaystyle{ (f,f) = 0}\), zatem czwarty warunek bycia iloczynem skalarnym nie jest spełniony.

Q.

[Yaco_89]

ok, widzę lukę w moim rozumowaniu i biję się w piersi za to niedopatrzenie