Definicja zależności liniowej

[Revist]

Witam,

Uprzejmie proszę o podanie mi definicji zależności liniowej między wektorami gdyż mam pewne wątpliwości do tej którą podaje książka którą obecnie przerabiam. Otóż w 1 jej części autor pisze:

"Mówimy, że między \(\displaystyle{ n}\) wektorami \(\displaystyle{ A_{1}, A_{2}, ..., A_{n}}\) istnieje zależność liniowa, jeśli istnieje n takich liczb \(\displaystyle{ \alpha_{1} , \alpha_{2} , ... , \alpha_{n}}\), z których nie wszystkie są równe zeru, a dla których zachodzi zależność \(\displaystyle{ \alpha_{1}A_{1}+\alpha_{2}A_{2}+...+\alpha_{n}A_{n}=0}\)"

Natomiast w starszym wydaniu tej samej książki pisze

"Mówimy, że między \(\displaystyle{ n}\) wektorami właściwymi \(\displaystyle{ A_{1}, A_{2}, ..., A_{n}}\) istnieje zależność liniowa, jeśli istnieje n takich liczb \(\displaystyle{ \alpha_{1} , \alpha_{2} , ... , \alpha_{n}}\), z których nie wszystkie są równe zeru, a dla których zachodzi zależność \(\displaystyle{ \alpha_{1}A_{1}+\alpha_{2}A_{2}+...+\alpha_{n}A_{n}=0}\)"

Niby że to nowsze wydanie to pierwsza definicja bylaby poprawna ale pisz on też
"W mnogości dwuwymiarowej można wybrać dwa wektory liniowo niezależne, mogą to być każde dwa wektory nie równoległe do jednej prostej"

Przy pierwszej definicji \(\displaystyle{ \alpha A+\beta B = 0}\) dla \(\displaystyle{ \beta = 0}\) i \(\displaystyle{ A = 0}\) czyli będącego wektorem niewłaściwym.

W związku z powyższym proszę o pomoc w sprecyzowaniu definicji. Z góry dziękuję.

[JankoS]

Pierwsza z podanych definicji jest poprawna, druga też - jest ona szczególnzm przypadkiem pierwszej.
Stwierdzenie "W mnogości dwuwymiarowej można wybrać dwa wektory liniowo niezależne, mogą to być każde dwa wektory nie równoległe do jednej prostej" jest prwdziwe.
Podany Przez Kolegę przykład \(\displaystyle{ \alpha A+ \beta B, \ \beta=0, \ A=}\)0 jest przykładem wektorów liniowo zależnych, bowiem każdy układ wektorów, wśród których jest wektor zerowy, jest układem wektorów liniowo zależnych.

[Revist]

O to mi chodziło, dziękuję za pomoc.