Uzasadnić iloczyn

[daro[lo]]

Uzasadni że iloczyn :
a) macierzy diagonalnych tego samego stopnia jest macierzą diagonalną
b)iloczyn macierzy trójkątnych dolnych tego samego stopnia jest macierzą trójkątną dolną
Fakt ten wydaje sie byc oczywisty ale jak go wykazać?

[Qń]

Wskazówka: można to pokazać indukcyjnie ze względu na stopień macierzy. W kroku indukcyjnym dla diagonalnych będzie zirka about:
\(\displaystyle{ C_{n+1} \cdot D_{n+1} =
\left[ \begin{array}{cc}
C_n & \vec{0}^T \\
\vec{0} & a_n
\end{array} \right] \cdot
\left[ \begin{array}{cc}
D_n & \vec{0}^T \\
\vec{0} & b_n
\end{array} \right] =
\left[ \begin{array}{cc}
C_n \cdot D_n & \vec{0}^T \\
\vec{0} & a_n \cdot b_n
\end{array} \right]}\)
a ta macierz z założenia indukcyjnego jest diagonalna.

Analogicznie dla trójkątnych.

Q.

[Zordon]

a) napisz z definicji mnożenia jakie będą wyrazy iloczynu: \(\displaystyle{ a_{ij}}\) dla \(\displaystyle{ i \neq j}\)
b) podobnie, ale dla \(\displaystyle{ i>j}\)

[marcinxn]

Hmm, więc przy mnożeniu z definicji wystarczy napisać że gdy:

\(\displaystyle{ C = AB \\
\forall i \neq j \ C_{ij} = \sum_{r=1}^{n} A_{ir} * B_{ir} = 0}\)

??

[JankoS]

Macierz diagonalna jest macierzą przekształcenia liniowego tożsamościowego. Złożenie dwóch takich przekształceń jest nim samym, więc jego macierz jest diagonalna.

Jak zauważył Kolega Qń powyższe jest nieprawdą, w ogólnym przypadku. Prawdziwe jest tylko dla macierzy jednostkowej, co znowu nie jest takim wielkim odkryciem.

Podobnie można wykazać twierdzenie o macierzy trójkątnej. Niech
\(\displaystyle{ h(x_1,x_2,...x_n)=(a _{1,1}x_1,a_{2,1}x_1+a_{2,1}x_2,...,a_{n,1}x_1+a_{n,2}x_2+...+a_{n.n}x_n),\ (h \circ h)(x_1,x_2,...x_n)=h \left(a _{1,1}x_1,a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2,...,a_{n,1}x_1+a_{n,2}x_2+...+a_{n.n}x_n \right)}\)
W składowych otrzymanego wektora występują (oprócz \(\displaystyle{ x_1,,x_2,...,x_n)}\) elementy ciała \(\displaystyle{ a_{k,l}}\) takie, że \(\displaystyle{ k,l \in N \backslash \{0\} \ i \ k \ge l \ dla \ k= 1,2,....,n.}\)

[Qń]

Macierz diagonalna jest macierzą przekształcenia liniowego tożsamościowego.

Nie.

Twój argument dla macierzy trójkątnej też jest nieprzekonujący.

Q.

[JankoS]

Macierz diagonalna jest macierzą przekształcenia liniowego tożsamościowego.

Nie.

Oczywiście. Dopiero teraz dotarło do mnie, że pisałem "diagonalna", a myślałem o jej (diagonalnej) szczególnym przypadku.

Twój argument dla macierzy trójkątnej też jest nieprzekonujący.

Q.

Możliwe. Próbowałem, to szczegółowo rozpisać, ale "coś mi się psuło" w ze wskaźnikami. Możliwe, że jak będę miał chwilę czasu, to... to rozpiszę.
Póki co poprawiam wpadkę z diagonalną. Dziękuję za uwagę i pozdrawiam.