Mam problem z kilkoma zadaniami z geometrii analitycznej ( dokladnie z liczb zespolonych ). Pracowalem nad nimi kilka godzin, ale ten temat nie daje sie przeze mnie zglebic. Rowniez nie oczekuje, ze podacie mi odpowiedz na tacy, natomiast milo by bylo, gdyby ktos napisal sposob postepowania, ostateczny wynik
i wyjasnil jak poszczegolne 'funkcje' przebiegaja.
1) Rozwiaz w liczbach zespolonych rownanie: \(\displaystyle{ z^{4} + ( 1 - i ) * z^{2} - i = 0}\). Tu problem
wydaje sie przede wszystkim w wyrazeniu delty przez cos innego ( probowalem przez rownanie na "wyciaganie" pierwiastkow, natomiast nie udalo mi sie poprawnie go wykorzystac - jego omowienie byloby mile widziane ) - jest to zadanie dla mnie priorytetowe.
2) Zbadaj dla jakich liczb calkowitych n rownanie \(\displaystyle{ | z - ( 1 + i )^{n} ) | = z}\) ma rozwiazanie zespolone. Zuplenie nie wiem, jak sie do tego zabrac. Staralem podniesc to do kwadratu i "wyznaczyc" katy z ( 1 + i ) ( tak jak w przypadku rownania na pierwiastki liczby zespolonej ), ale nic z tego nie wyszlo.
3) Wyznacz liczby zespolone odpowiadajace parze przeciwleglych wierzcholkow kwadratu, jezeli pozostalym dwom wierzcholka odpowiadaja liczby z i w. Staralem sie rozwiazac to zadanie w bardziej standardowy sposob - uzywajac wektorow i funkcji prostych / prostopadlych, ale wydaje mi sie, ze nie tedy droga.
Z gory dziekuje za okazana pomoc.
Looking4Brain.
Rownanie dwukwadratowe z liczbami zespolonymi.
-
Looking4Brain
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 11 paź 2009, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 5 razy
-
xiikzodz
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Rownanie dwukwadratowe z liczbami zespolonymi.
1. Podstawiasz \(\displaystyle{ t=z^2}\), rozwiązujesz: \(\displaystyle{ t^2+(1-i)t-i=0}\), następnie z otrzymanych dwóch liczb zespolonych wyciągasz (wszystkie możliwe) pierwiastki. Będą to 4 liczby.
2. Lewa strona równania jest liczbą rzeczywistą dodatnią, zatem \(\displaystyle{ z}\) jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Liczba \(\displaystyle{ (1+i)^n}\) leży na jednej z prostych \(\displaystyle{ y=x}\), \(\displaystyle{ y=-x}\), \(\displaystyle{ y=0}\), lub \(\displaystyle{ x=0}\). Pozostaje przetłumaczyć to na język geometrii: równość powiada, że liczba \(\displaystyle{ z}\) jest tak samo oddalona od punktu \(\displaystyle{ 0}\) jak od pewnego punktu z jednej z tych prostych. Żeby to było możliwe, ten punkt musi leżeć w półpłaszczyźnie \(\displaystyle{ \mbox{Re}\ge 0}\) (inaczej będzie miał za daleko) i nie może leżeć na prostej \(\displaystyle{ y=0}\) (za daleko). Pozostają więc półproste otrzymane z prostych \(\displaystyle{ y=x}\), \(\displaystyle{ y=-x}\) i \(\displaystyle{ y=0}\) obcięte do półpłaszczyzny \(\displaystyle{ \mbox{Re}\ge 0}\), czyli \(\displaystyle{ n}\) musi dawać resztę 1, 7 lub 0 z dzielenia przez 8. Wówczas też dane równanie ma rzeczywiście rozwiązanie, mianowicie \(\displaystyle{ z=\mbox{Re}((1+i)^n)}\), gdy \(\displaystyle{ n=\pm 1 \mbox{ mod }8}\) oraz \(\displaystyle{ z=\frac 12\cdot (1+i)^n}\) gdy \(\displaystyle{ n = 0\mbox{ mod }8}\).
3. \(\displaystyle{ \frac{z+w}2\pm i\frac{w-z}2}\). Co bardzo łatwo zobaczyć. Środkiem kwadratu jest punkt \(\displaystyle{ \frac{z+w}2}\), zaś \(\displaystyle{ i\frac{w-z}2}\) to wektor prostopadły do danej przekątnej długości równej jej połowie.
2. Lewa strona równania jest liczbą rzeczywistą dodatnią, zatem \(\displaystyle{ z}\) jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Liczba \(\displaystyle{ (1+i)^n}\) leży na jednej z prostych \(\displaystyle{ y=x}\), \(\displaystyle{ y=-x}\), \(\displaystyle{ y=0}\), lub \(\displaystyle{ x=0}\). Pozostaje przetłumaczyć to na język geometrii: równość powiada, że liczba \(\displaystyle{ z}\) jest tak samo oddalona od punktu \(\displaystyle{ 0}\) jak od pewnego punktu z jednej z tych prostych. Żeby to było możliwe, ten punkt musi leżeć w półpłaszczyźnie \(\displaystyle{ \mbox{Re}\ge 0}\) (inaczej będzie miał za daleko) i nie może leżeć na prostej \(\displaystyle{ y=0}\) (za daleko). Pozostają więc półproste otrzymane z prostych \(\displaystyle{ y=x}\), \(\displaystyle{ y=-x}\) i \(\displaystyle{ y=0}\) obcięte do półpłaszczyzny \(\displaystyle{ \mbox{Re}\ge 0}\), czyli \(\displaystyle{ n}\) musi dawać resztę 1, 7 lub 0 z dzielenia przez 8. Wówczas też dane równanie ma rzeczywiście rozwiązanie, mianowicie \(\displaystyle{ z=\mbox{Re}((1+i)^n)}\), gdy \(\displaystyle{ n=\pm 1 \mbox{ mod }8}\) oraz \(\displaystyle{ z=\frac 12\cdot (1+i)^n}\) gdy \(\displaystyle{ n = 0\mbox{ mod }8}\).
3. \(\displaystyle{ \frac{z+w}2\pm i\frac{w-z}2}\). Co bardzo łatwo zobaczyć. Środkiem kwadratu jest punkt \(\displaystyle{ \frac{z+w}2}\), zaś \(\displaystyle{ i\frac{w-z}2}\) to wektor prostopadły do danej przekątnej długości równej jej połowie.