Udowodnić, wyznaczyć i udowodnić raz jescze

[black_ozzy]

Niech dla \(\displaystyle{ A M_{n}(C)}\) A*=\(\displaystyle{ \overline{A}^{ T}}\) i niech \(\displaystyle{ H_{n}}\)={A: A*=A}, \(\displaystyle{ S_{n}}\)={A: A*=-A}.

1) Udowodnić, że \(\displaystyle{ M_{n}(C)=H_{n} \oplus S_{n}}\)

2) Wyznaczyć \(\displaystyle{ dim H_{n}}\) i \(\displaystyle{ dim S_{n}}\)

3) Udowodnić, ze \(\displaystyle{ M_{2}(R)=U \oplus W}\).

Prosze o pomoc, bardzie zależy mi na wskazówkach niż na odpowiedzi

[g]

1. jak wezmiesz \(\displaystyle{ A M(n ; \mathbb{C})}\) to przy \(\displaystyle{ H = {A + \bar{A}^T \over 2}}\) i \(\displaystyle{ S = {A - \bar{A}^T \over 2}}\) zachodzi \(\displaystyle{ H H_n, S S_n}\) oraz \(\displaystyle{ S + H = A}\). oczywiscie warunek \(\displaystyle{ H_n \cap S_n = \{ 0 \}}\) jest trywialnie spelniony.

U = ?, W = ?

[black_ozzy]

A tak zapomniałem...

U={\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a&b\\-b&a\end{array}\right]}\): a,b\(\displaystyle{ \in}\) R}

V={\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}c&d\\d&-c\end{array}\right]}\): c,d\(\displaystyle{ \in}\) R}

A co do \(\displaystyle{ dim H_{n}}\) i \(\displaystyle{ dim S_{n}}\) na wykładzie miałem coś takiego podane: \(\displaystyle{ dim M_{n,m}=mn}\) czyli \(\displaystyle{ dim H_{n}}\) i \(\displaystyle{ dim S_{n}}\) bedą równe \(\displaystyle{ n^2}\)?? Czy jest jakiś haczyk??

[g]

jak \(\displaystyle{ A = ft[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right]}\), to \(\displaystyle{ {1 \over 2} ft[ \begin{array}{cc} a_{11} + a_{22} & a_{12} - a_{21} \\ a_{21} - a_{12} & a_{11} + a_{22} \end{array} \right] U, {1 \over 2} ft[ \begin{array}{cc} a_{11} - a_{22} & a_{12} + a_{21} \\ a_{21} + a_{12} & a_{22} - a_{11} \end{array} \right] V}\) oraz \(\displaystyle{ {1 \over 2} ft[ \begin{array}{cc} a_{11} + a_{22} & a_{12} - a_{21} \\ a_{21} - a_{12} & a_{11} + a_{22} \end{array} \right] + {1 \over 2} ft[ \begin{array}{cc} a_{11} - a_{22} & a_{12} + a_{21} \\ a_{21} + a_{12} & a_{22} - a_{11} \end{array} \right] = A}\). oczywiscie \(\displaystyle{ U \cap V = \{ 0 \}}\).
co do tego wymiaru to nie bardzo, w koncu \(\displaystyle{ \dim ( U \oplus V ) = \dim U + \dim V}\)... na to nie mam pomyslu poki co.

[black_ozzy]

Nie bardzo rozumiem, to co napisałeś... możesz troszke jasniej...

[g]

przeciez zrobilem to, o co chodzi przy sprawdzaniu, czy przestrzen jest suma prosta czegos tam. po pierwsze przeciecie podprzestrzeni ma byc trywialne, a po drugie dla kazdego elementu przestrzeni maja istniec elementy z jej podprzestrzeni, ktore po dodaniu do siebie dadza tenze element. no to ja wzialem dowolny wektor z przestrzeni i wskazalem dwa wektory z podprzestrzeni spelniajace te warunki, zupelnie jak w poprzednim przypadku - ze tak jest to sobie sprawdz sam.